Tensoralgebra
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Die Tensoralgebra ist ein mathematischer Begriff, der in vielen Bereichen der Mathematik wie der linearen Algebra, der Algebra, der Differentialgeometrie sowie in der Physik verwendet wird. Sie fasst "alle Tensoren" über einem Vektorraum in der Struktur einer graduierten Algebra zusammen.
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[Bearbeiten] Definition
Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K oder allgemeiner ein Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement. Dann ist die Tensoralgebra
Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird TV zu einer unitären assoziativen Algebra.
[Bearbeiten] Universelle Eigenschaft
Ist A eine assoziative K- Algebra mit einem Einselement e, sowie 
eine lineare Abbildung, so existiert genau ein Algebrenhomomorphismus 
, der f fortsetzt.
Sie ist gegeben durch 
sowie fT(λ): = λe
Mit anderen Worten: Es gibt eine kanonische Bijektion zwischen den K-linearen Abbildungen
und den K-Algebrenhomomorphismen
[Bearbeiten] Beispiel
Ist V ein n-dimensionaler K-Vektorraum (bzw. ein freier Modul vom Rang n), so ist TV isomorph zur freien assoziativen Algebra über K in n Unbestimmten.
[Bearbeiten] Verwandte Begriffe
- Äußere Algebra
- Symmetrische Algebra
- Universelle einhüllende Algebra
- Clifford-Algebra
