Untergruppe
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In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe 
, die bezüglich 
selbst wieder eine Gruppe bildet (d.h. sie hat alle Eigenschaften, die eine Gruppe definieren). Die Eigenschaft "Assoziativität" überträgt sich auf Untermengen von G, wohingegen das bei den Eigenschaften "Abgeschlossenheit" und "Inverses Element" nicht der Fall ist.
[Bearbeiten] Äquivalente Definitionen
Es lässt sich folgendes Untergruppenkriterium formulieren: Eine nichtleere Teilmenge U von G ist eine Untergruppe von G, genau dann wenn gilt:
Aus diesen beiden Bedingungen folgt insbesondere auch, dass das neutrale Element e von G in jeder Untergruppe enthalten sein muss.
Eine weitere äquivalente Forderung ist, dass U eine nichtleere Teilmenge von G ist mit:
Je nach Kompliziertheit der Verknüpfung ist es einfacher, die beiden Bedingungen der ersten Formulierung oder die Bedingung der zweiten Formulierung zu beweisen.
[Bearbeiten] Beispiele
- Die ganzen Zahlen
sind bezüglich der Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen 
. - Die Menge der Permutationen
ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S3. 
, also eine Gruppe mit einer beliebigen Verknüpfung und der Menge, die nur aus dem jeweiligen neutralen Element besteht, ist Untergruppe jeder anderen Gruppe, die diese Verknüpfung teilt.
[Bearbeiten] Eigenschaften
Von einer Gruppe G sind stets G selbst sowie die einelementige Gruppe {e} Untergruppen. Diese werden die trivialen Untergruppen von G genannt. Im Fall G = {e} sind diese beiden Untergruppen gleich und stellen die einzige Untergruppe dar. Alle anderen Gruppen 
haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen.
Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe G bildet einen vollständigen Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen {e} und G entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes.
Satz von Lagrange: Die Kardinalität jeder Untergruppe U einer endlichen Gruppe teilt die Kardinalität der Gruppe G. (Der Quotient ist der Index der Untergruppe.)
Ist beispielsweise | G | eine Primzahl, so kann die Kardinalität einer Untergruppe U nur 1 oder | G | betragen. Also sind in diesem Falle die trivialen Untergruppen die einzigen Untergruppen von G.
Untergruppen, die unter der Konjugation fest bleiben, heißen Normalteiler. Sie dienen der Erzeugung von Faktorgruppen.
Ist A Untergruppe einer Gruppe B, die ihrerseits Untergruppe von C ist, dann ist A auch Untergruppe von C. (Die entsprechende Aussage für Normalteiler gilt nicht.)
