Verallgemeinerte Kettenregel

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Die verallgemeinerte Kettenregel ist eine Verallgemeinerung der Kettenregel in der mehrdimensionalen Analysis.

[Bearbeiten] Satz

Sind $v\colon\mathbb R^k\to\mathbb R^m$ und $u\colon\mathbb R^m\to\mathbb R^n$ differenzierbar, so gilt für ihre Totalableitungen

$(u\circ v)'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x).$

Dabei bezeichnet der Punkt auf der rechten Seite das Produkt von Matrizen oder die Verkettung linearer Abbildungen.

[Bearbeiten] Spezialfall k = n = 1

Häufig möchte man die Ableitung einer gewöhnlichen reellen Funktion bestimmen, die aber über einen mehrdimensionalen "Umweg" definiert ist: ist $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ differenzierbar, so ist beispielsweise

$g\colon\mathbb R\to\mathbb R,\quad t\mapsto f(\cos t,\sin t)$

eine reelle Funktion, deren Ableitung sich aber nicht mit der eindimensionalen Kettenregel berechnen lässt.

Die Ableitung einer derartigen Funktion an einer Stelle $t 0$ kann dann wie folgt ermittelt werden:

Sei $D$ eine offene Teilmenge des $\mathbb R^n$ und $f = f (x 1, x 2,..., x n)$ mit der differenzierbaren Funktion $x = x(t) = \left( x_1(t), x_2(t), ..., x_n(t) \right)^T \in D ~ \forall ~ i = 1, 2, ..., n$ an der Stelle $t = t 0$ und $f$ an der Stelle $x 0 = x (t 0)$ nach allen $x i$ partiell differenzierbar, so besitzt die mittelbare Funktion $g (t) = f (x (t)) = f (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t))$ an der Stelle $t 0$ die Ableitung:

$g'(t_0) = f_{x_1}(x_0)\dot x_1(t_0) + f_{x_2}(x_0)\dot x_2(t_0) + ... + f_{x_n}(x_0)\dot x_n(t_0)$

oder kurz

$g'(t_0) = \nabla \cdot f(x_0)^T\dot x(t_0)$ .

[Bearbeiten] Beispiel

$g (t) = f (cos t,sin t)$

In diesem Beispiel bildet $f$ die äußere Funktion, abhängig von $x = (x 1, x 2)$ . Somit ist

$f'(x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} \end{pmatrix}$

und als innere Funktion setzen wir $\varphi(t)$ mit $\varphi(t) = (\varphi_1(t), \varphi_2(t)) = (\cos t, \sin t)$ , abhängig von der reellen Variablen $t$ . Ableiten ergibt

$\varphi'(t) = \begin{pmatrix} \varphi_1'(t) \\ \varphi_2'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \end{pmatrix}$

Nach der allgemeinen Kettenregel gilt daher:

$g'(t) = f'(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) = \left. \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} \end{pmatrix} \right|_{x = \varphi(t)} \cdot \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \end{pmatrix}$ $= - \sin{t} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_1}(\cos{t},\sin{t}) + \cos{t} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_2}(\cos{t},\sin{t})$

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Kategorie: Analysis

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[Bearbeiten] Beispiel

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