Volumenform
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Eine Volumenform ist ein mathematisches Objekt, welches zur Integration über Raumbereiche benötigt wird, insbesondere bei der Verwendung spezieller Koordinatensysteme.
In der Physik und im Ingenieurwesen sind auch Bezeichnungen wie infinitesimales Volumenelement oder Maßfaktor gebräuchlich.
[Bearbeiten] Beispiele
| Kartesische Koordinaten: |  |
||
| Polarkoordinaten: |  |
||
| Kugelkoordinaten: |  |
[Bearbeiten] Mathematische Definition
Aus mathematischer Sicht ist eine Volumenform auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit eine Differentialform vom Grad n. Im Fall einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ergibt sich eine kanonische Volumenform aus der verwendeten Metrik, die den Wert 1 auf einer positiv orientierten Orthonormalbasis annimmt.
[Bearbeiten] Integration mit Volumenformen
Ist ω eine Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit M und f eine integrierbare Funktion, so ist das Integral
über lokale Karten wie folgt definiert: Es seien 
lokale Koordinaten, so dass
positiv orientiert ist. Dann kann man 
im Kartengebiet als
schreiben; das Integral ist dann das gewöhnliche Lebesgue-Integral von g. Für das Integral über ganz M kann eine Partition der Eins verwendet werden. Aus dem Transformationssatz ergibt sich, dass diese Definition kartenunabhängig ist.
