Polarkoordinaten

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Dieser Artikel behandelt Polarkoordinaten der Ebene sowie die eng damit verwandten Zylinderkoordinaten im Raum. Für räumliche Polarkoordinaten siehe den Artikel Kugelkoordinaten.

Inhaltsverzeichnis

1 Ebene Polarkoordinaten: Kreiskoordinaten
2 Räumliche Polarkoordinaten: Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten
- 2.1 Zylinderkoordinaten
- 2.2 Kugelkoordinaten
3 n-dimensionale Polarkoordinaten
- 3.1 Umrechnung in kartesische Koordinaten
- 3.2 Funktionaldeterminante
4 Siehe auch
5 Weblinks

[Bearbeiten] Ebene Polarkoordinaten: Kreiskoordinaten

Die Polarkoordinaten (auch: Kreiskoordinaten) eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug auf einen Koordinatenursprung (einen Punkt der Ebene) und eine Richtung (einen im Koordinatenursprung beginnenden Strahl) angegeben.

Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten

Die Koordinate r, eine Länge, wird als Radius, die Winkelkoordinate $φ$ als Azimut bezeichnet.

[Bearbeiten] Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, so ergibt sich

$\vec r=r\, \cos\varphi \, \vec e_x + r\, \sin\varphi \, \vec e_y$

als Transformation zu kartesischen Koordinaten.

[Bearbeiten] Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten

Für die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten gilt demnach:

$x=r\cdot\cos\varphi$

$y=r\cdot\sin\varphi$

[Bearbeiten] Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten

Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten ist etwas schwieriger. Zunächst kann der Radius r mit dem Satz des Pythagoras wie folgt berechnet werden:

$r=\sqrt{x^2 + y^2}$

Bei der Bestimmung des Winkels φ müssen zwei Besonderheiten der Polarkoordinaten berücksichtigt werden:

Für r = 0 ist der Winkel φ nicht eindeutig bestimmt, sondern könnte jeden beliebigen reellen Wert annehmen. Zum Zwecke einer eindeutigen Darstellung wird er jedoch häufig mit 0 definiert. Die nachfolgenden Formeln sind deshalb zur Vereinfachung der Darstellung unter der Voraussetzung r ≠ 0 angegeben.
Für r ≠ 0 ist der Winkel φ nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π bestimmt, da die Winkel φ und φ + k·2π (für k aus $\Z$ ) den gleichen Punkt beschreiben. Zum Zwecke einer eindeutigen Darstellung muss der Winkel φ daher auf ein Intervall der Länge 2π beschränkt werden. Üblicherweise werden dazu je nach Anwendungsgebiet die Intervalle (−π, π] oder [0, 2π) gewählt.

[Bearbeiten] Berechnung des Winkels im Intervall (−π, π]

Mit Hilfe des Arkustangens kann φ wie folgt im Intervall (−π, π] bestimmt werden:

$\varphi = \begin{cases} \arctan\frac{y}{x} & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0\\ \arctan\frac{y}{x} + \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y \geq 0\\ \arctan\frac{y}{x} - \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y < 0\\ +\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y > 0\\ -\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y < 0\\ \end{cases}$

Einige Programmiersprachen bieten eine bivariate Arkustangens-Funktion atan2(y,x) an, welche die dargestellten Fallunterscheidungen intern berücksichtigt und den korrekten Wert für φ für beliebige Werte von x und y berechnet.

Mit Hilfe des Arkuskosinus kommt man mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:

$\varphi = \begin{cases} +\arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y\geq 0\\ -\arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y<0 \end{cases}$

Durch Verwendung der Signum-Funktion kann man eine explizite Fallunterscheidung in der Formel vermeiden:

$\varphi = (\sgn y + 1 - |\sgn y|) \cdot \arccos\frac{x}{r}$

Durch Ausnutzen der Tatsache, dass in einem Kreis ein Mittelpunktswinkel stets doppelt so groß ist wie der zugehörige Umfangswinkel, kann das Argument auch mit Hilfe der Arkustangens-Funktion mit weniger Fallunterscheidungen berechnet werden:

$\varphi = \begin{cases} 2 \arctan \frac{y}{r+x} & \mathrm{f\ddot ur}\ r + x \neq 0\\ \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ r + x = 0 \end{cases}$

[Bearbeiten] Berechnung des Winkels im Intervall [0, 2π)

Die Berechnung des Winkels φ' im Intervall [0, 2π) kann im Prinzip so durchgeführt werden, dass der Winkel zunächst wie vorstehend beschrieben im Intervall (−π, π] berechnet wird und dann um 2π vergrößert wird, falls er negativ ist:

$\varphi' = \begin{cases} \varphi + 2\pi & \mathrm{falls}\ \varphi < 0\\ \varphi & \mathrm{sonst} \end{cases}$

Durch Abwandlung der ersten obenstehenden Formel kann φ' wie folgt direkt im Intervall [0, 2π) bestimmt werden:

$\varphi' = \begin{cases} \arctan\frac{y}{x} & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0,\ y \geq 0\\ \arctan\frac{y}{x} + 2\pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0,\ y < 0\\ \arctan\frac{y}{x} + \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0\\ \pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y > 0\\ 3\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y < 0\\ \end{cases}$

Die Formel mit dem Arkuskosinus kommt auch in diesem Fall mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:

$\varphi' = \begin{cases} \arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y\geq 0\\ 2\pi - \arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y<0 \end{cases}$

[Bearbeiten] Funktionaldeterminate

Aus den Umrechnungsformeln von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten erhält man für die Funktionaldeterminante:

$J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end{vmatrix} =r\cos^2\varphi + r\sin^2\varphi = r$

[Bearbeiten] Flächenelement

Mit der Funktionaldeterminate ergibt sich für das Flächenelement in Polarkoordinaten:

$\mathrm dA = |J|\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi = r\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi$

[Bearbeiten] Linienelement

Aus der obigen Transformationsgleichung

$\vec r=r\, \cos\varphi \, \vec e_x + r\, \sin\varphi \, \vec e_y$

folgen

$\mathrm dx=\mathrm dr\, \cos\varphi - r\, \mathrm d\varphi \, \sin\varphi$

$\mathrm dy=\mathrm dr\, \sin\varphi + r\, \mathrm d\varphi \, \cos\varphi$

Für das kartesische Linienelement gilt

$d s 2 = d x 2 + d y 2$

wofür in Polarkoordinaten folgt

$\mathrm ds^2=\mathrm dr^2+\mathrm d\varphi^2 r^2$

[Bearbeiten] Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten

Die Geschwindigkeit $\dot {\vec r}$ ist gegeben durch $\dot{\vec r}=\dot{r}\vec e_r + r\dot{\varphi}\vec e_\varphi$

Die Beschleunigung $\ddot {\vec r}$ ist gegeben durch $\ddot{\vec r}=(\ddot r - r\dot\varphi^2) \vec e_r+(2\dot r \dot \varphi + r \ddot \varphi) \vec e_{\varphi}$

[Bearbeiten] Räumliche Polarkoordinaten: Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten

[Bearbeiten] Zylinderkoordinaten

Zylinderkoordinaten oder zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate beschreibt die Höhe eines Punktes senkrecht über (oder unter) der Ebene des Polarkoordinatensystems und wird im Allgemeinen mit z bezeichnet. Die Koordinate $\mathbf{\rho}$ beschreibt jetzt nicht mehr den Abstand eines Punktes vom Koordinatenursprung, sondern von der z-Achse.

[Bearbeiten] Umrechnung zwischen Zylinderkoordinaten und kartesischen Koordinaten

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem so ausrichtet, dass die z-Achsen zusammenfallen und die x-Achse in Richtung $\varphi = 0$ zeigt, dann ergeben sich die folgenden Umrechnungsformeln:

$x=\rho\,\cos\varphi$

$y=\rho\,\sin\varphi$

$z=z \quad$

Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten ergeben sich für $\rho\,$ und $\varphi$ die gleichen Formeln wie bei den Polarkoordinaten.

[Bearbeiten] Funktionaldeterminante

Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten z hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante:

$\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,z)}=\begin{vmatrix} \cos\varphi & -\rho\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \rho\cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\rho$

Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:

$\mathrm{d}V=\rho \,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}z$

Das entspricht auch der Quadratwurzel des Betrags der Determinante des metrischen Tensors, mit dessen Hilfe die Koordinatentransformation berechnet werden kann (siehe dazu Laplace-Beltrami-Operator).

$\begin{pmatrix}\mathrm dx\\\mathrm dy\\\mathrm dz\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi&-\rho\sin\varphi&0\\ \sin\varphi&\rho\cos\varphi&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\mathrm d\rho\\\mathrm d\varphi\\\mathrm dz\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}\mathrm d\rho\\\mathrm d\varphi\\\mathrm dz\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\mathrm dx\\\mathrm dy\\\mathrm dz\end{pmatrix}$

[Bearbeiten] Vektoranalysis

Die folgenden Darstellungen des Nabla-Operators können in der gegebenen Form direkt auf Skalare- oder Vektorwertige Felder in Zylinderkoordinaten angewendet werden. Man verfährt hierbei analog zur Vektoranalysis in kartesischen Koordinaten

Gradient

Die Darstellung des Gradienten überträgt sich wie folgt von kartesischen in Zylinderkoordinaten:

$\nabla \cdot f= \frac{\partial f}{\partial \rho } \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \varphi} \vec{e}_\varphi+ \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z$

Divergenz

Bei der Divergenz kommen noch weitere Terme hinzu welche sich aus den Ableitungen der von $\rho\,\varphi\,z$ abhängigen Einheitsvektoren ergeben:

$\nabla \cdot \vec{A}= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho }(\rho A_\rho) \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \vec{e}_\varphi+ \frac{\partial A_z}{\partial z} \vec{e}_z$

Rotation

$\nabla \times \vec{A}=(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z})\vec{e}_\rho+ (\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho})\vec{e}_\varphi+\frac{1}{\rho}(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\varphi)-\frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}) \vec{e}_z$

[Bearbeiten] Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind, und zwar in der gleichen Art und Weise, nämlich indem man einen Winkel $\theta \in [0,\pi]$ für die dritte Achse spezifiziert. Diese dritte Koordinate beschreibt den Winkel zwischen dem Vektor $\vec{r}$ zum Punkt P und der z-Achse. $θ$ ist genau dann null wenn P in der z-Achse liegt.

Für eine genauere Erklärung, siehe Kugelkoordinaten.

[Bearbeiten] n-dimensionale Polarkoordinaten

Es lässt sich auch eine Verallgemeinerung der Polarkoordinaten für einen n-dimensionalen Raum mit kartesischen Koordinaten $x_{i}\in \mathbb{R}$ für $i=1,\ldots,n$ angeben. Dazu führt man für jede neue Dimension einen weiteren Winkel $\vartheta_{i}\in (0,\pi)$ ein, der den Winkel zwischen dem Vektor $x\in \mathbb{R}^{n}$ und der Koordinate $x i + 2$ angibt.

[Bearbeiten] Umrechnung in kartesische Koordinaten

Eine Umrechnungsvorschrift von diesen Koordinaten in kartesische Koordinaten wäre dann:

$\begin{array}{lcr} x_{1} & = & r\ \cos\varphi\ \sin\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots\ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ x_{2} & = & r\ \sin\varphi\ \sin\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots \ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ x_{3} & = & r\ \cos\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots \ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2} \\ x_{4} & = & r\ \cos\vartheta_{2} \ \cdots\ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots \qquad\qquad\qquad\quad\\ x_{n-1} & = & r\ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ x_{n} & = & r\ \cos\vartheta_{n-2} \end{array}$

Wie man leicht nachweisen kann, gehen diese Polarkoordinaten für den Fall n=2 in die gewöhnlichen Polarkoordinaten und für n=3 in die Kugelkoordinaten über.

[Bearbeiten] Funktionaldeterminante

Die Funktionaldeterminante der Transformation von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten beträgt:

$\det\frac{\partial(x_{1},\ldots,x_{n})}{\partial(r,\varphi,\vartheta_{1},\ldots,\vartheta_{n-2})}=r^{n-1} \sin\vartheta_{1} \left(\sin\vartheta_{2}\right)^{2}\ldots \left(\sin\vartheta_{n-2}\right)^{n-2}$

Damit beträgt das n-dimensionale Volumenelement:

$\begin{matrix} \mathrm dV &=& r^{n-1} \sin\vartheta_{1} \left(\sin\vartheta_{2}\right)^{2}\ldots \left(\sin\vartheta_{n-2}\right)^{n-2} \mathrm dr\ \mathrm d\varphi\ \mathrm d\vartheta_{1} \ldots \mathrm d\vartheta_{n-2} \\ &=& r^{n-1}\ \mathrm dr\ \mathrm d\varphi\ \prod\limits_{j=1}^{n-2} (\sin\theta_{j})^{j}\ \mathrm d\vartheta_{j} \end{matrix}$