Vikipedio:Projekto matematiko/Finia kampo
El Vikipedio
 |
Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Finia kampo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi. |
En abstrakta algebro, finia kampo aŭ Galeza korpo ((do, tiel) nomis en (honori, moŝto) de _Évariste_ Galezo) estas kampo (tiu, ke, kiu) enhavas nur finie multaj eroj. Finiaj kampoj estas grava en nombroteorio, algebra geometrio, Galeza teorio, ĉifriko, kaj kodiga teorio. La finiaj kampoj estas plene sciata, kiel estos esti priskribita pli sube.
Enhavo |
[redaktu] Klasifiko
Ekde ĉiu kampo de karakterizo 0 enhavas la (racionaloj, racionalas) kaj estas pro tia malfinio, ĉiuj finiaj kampoj havi prima karakterizo, kaj de ĉi tie kardinalo pn por iu primo p kaj pozitiva entjero n (ekde la kampo estas vektora spaco super la subkorpo de kardinalo p generita per la ero 1). (Kiel _aside_, la konversacii estas ne vera — tie ekzisti malfiniaj kampoj de prima karakterizo.)
Por primo p, la (entjeroj, entjeras) module p (formo, formi) kampo kun p eroj, signifis Z/pZ, Fp aŭ Gf(p). (Iam Zp estas uzita, sed ĉi tiu povas kaŭza konfuzo kun la ringo de p-_adic_ (entjeroj, entjeras).) Ĉiu kampo kun p eroj estas izomorfia al ĉi tiu unu.
Se q = pn estas prima povo, tiam tie ekzistas supren al izomorfio akurate unu kampo kun q eroj, skribita kiel Fq aŭ Gf(q). Ĝi povas esti konstruita kiel sekvas: trovi nereduktebla polinomo f(T) de grado n kun koeficientoj en Gf(p), tiam difini Gf(q) = Gf(p)[T] / <f(T)>. Ĉi tie, Gf(p)[T] signifas la ringo de ĉiuj (polinomoj, polinomas) kun koeficientoj en Gf(p), <f(T)> signifas la ringa idealo generita per f(T), kaj la kvociento estas intencita en la (senso, senco) de faktoraj ringoj - la aro de (polinomoj, polinomas) kun koeficientoj en Gf(p) sur divido per f(T). La polinomo f(T) povas troviĝi per faktoranta la polinomo T q-T super Gf(p). La kampo Gf(q) enhavas Gf(p) kiel subkorpo.
Estas ne aliaj finiaj kampoj.
[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)
La polinomo f(T) = T 2 + T + 1 estas nereduktebla super Gf(2), kaj Gf(4) = Gf(2)[T] / <T2+T+1> povas pro tio esti skribita kiel la aro {0, 1, t, t+1} kie la multipliko estas difinita (module) per t2 + t + 1 = 0. Ekzemple, al difini t3, (tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) t(t2 + t + 1) = 0; (do, tiel) t3 + t2 + t = 0, kaj tial t3 + t2 + t + 1 = 1, (do, tiel) t3 = 1. Simile, ekde la karakterizo de la kampo estas 2 - koeficientoj estas en Gf(2), ni povas kalkuli (potencoj, potencas, kardinaloj, kardinalas, povoj, povas) de t en ĉi tiu aper(aĵ)o per notanta unua (tiu, ke, kiu) t2+t+1=0, kaj tiam t2=t+1. Tiam t3 = t(t2) = t(t+1) = t2+t = (t+1)+t = 1 kiel antaŭ.
Por ke trovi la inverso de t en ĉi tiu kampo, ni devi trovi polinomo p(T) tia (tiu, ke, kiu) T * p(T) = 1 module T 2 + T + 1. La polinomo p(T) = T + 1 (laboroj, laboras), kaj de ĉi tie 1/t = t + 1. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la kampo Gf(4) estas plene nerilata al la ringo Z4 de (entjeroj, entjeras) module 4.
Al konstrui la kampo Gf(27), ni starti kun la nereduktebla polinomo T 3 + T 2 + T - 1 super Gf(3). Ni tiam havi Gf(27) = {je2 + _bt_ + c : a, b, c en Gf(3)}, kie la multipliko estas difinita per t 3 + t 2 + t - 1 = 0, aŭ laborante de la reordigo de la pli supre en izolanta la t3 (termo, membro, flanko, termino).
[redaktu] Propraĵoj kaj (faktoj, faktas)
Se F estas finia kampo kun q = pn eroj (kie p estas primo), tiam
- xq = x
por ĉiuj x en F. Plue, la mapo
- f : F → F
difinita per
- f(x) = xp
estas (dissurĵeta, bijekcia) kaj homomorfio, kaj estas pro tia aŭtomorfio. Ĝi estas (nomita, vokis) la Aŭtomorfio de Frobenius, post _Ferdinand_ _Georg_ Frobenius-a.
La Aŭtomorfio de Frobenius havas (mendi, ordo) n, tiel ke la cikla grupa ĝi (generas, naskas) estas la plena grupo de (aŭtomorfioj, aŭtomorfias) de la kampo.
La kampo Gf(pm) enhavas (kopio, kopii) de Gf(pn) se kaj nur se n (akvodislimoj, akvodislimas, divizoras, dividas) m. La kaŭzo por la se direkto estas (tiu, ke, kiu) tie ekzisti neredukteblaj polinomoj de ĉiu grado super Gf(pm).
Se ni reale konstrui niaj finiaj kampoj en tia (modo, maniero) (tiu, ke, kiu) Gf(pn) estas enhavita en Gf(pm) ĉiam n (akvodislimoj, akvodislimas, divizoras, dividas) m, tiam ni povas (formo, formi) la unio de ĉiuj ĉi tiuj kampoj. Ĉi tiu unio estas ankaŭ kampo, _albeit_ malfinio unu. Ĝi estas la tegaĵo de ĉiu de la kampoj Gf(pn). Eĉ se ni don't konstrui niaj kampoj tiamaniere, ni povas ankoraŭ paroli de la tegaĵo, sed iu pli delikataĵo estas postulita en ĝia konstruado.
[redaktu] Aplikoj
La multiplika grupo de ĉiu finia kampo estas cikla, speciala okazo de teoremo menciis ĉi tie en la artikolo pri kampoj. Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) se F estas finia kampo kun q eroj, tiam tie ĉiam ekzistas ero x en F tia (tiu, ke, kiu)
- F = { 0, 1, x, x2, ..., xq-2 }.
Se ne q = 2 aŭ 3, la ero x estas ne unika. Se ni (fiksi, neŝanĝebligi) unu, tiam por (ĉiu, iu) ne-nula ero a en Fq, estas unika entjero n kun
- 0 ≤ n ≤ q − 2
tia (tiu, ke, kiu)
- a = xn.
La valoro de n por donita a estas (nomita, vokis) la diskreta logo de a (en la donita kampo, al bazo x). En praktiko, kvankam kalkulanta xn estas relative bagatela donita n, trovanta n por donita a estas (sub aktuala (teorioj, teorias)) kompute malfacila procezo, kaj havas multaj aplikoj en ĉifriko.
Finiaj kampoj ankaŭ trovi aplikoj en kodiga teorio: multaj (kodoj, kodas, moruoj) estas konstruita kiel (subspacoj, subspacas) de vektoraj spacoj super finiaj kampoj.
[redaktu] Iuj Malgrandaj finiaj kampoj
Gf(2):
+ | 0 1 · | 0 1 --+---- --+---- 0 | 0 1 0 | 0 0 1 | 1 0 1 | 0 1
Gf(3):
+ | 0 1 2 · | 0 1 2 --+------ --+------ 0 | 0 1 2 0 | 0 0 0 1 | 1 2 0 1 | 0 1 2 2 | 2 0 1 2 | 0 2 1
Gf(4):
+ | 0 1 A B · | 0 1 A B --+-------- --+-------- 0 | 0 1 A B 0 | 0 0 0 0 1 | 1 0 B A 1 | 0 1 A B | A B 0 1 A | 0 A B 1 B | B A 1 0 B | 0 B 1 A
