Vikipedio:Projekto matematiko/Homogenaj koordinatoj

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Homogenaj koordinatoj
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, homogenaj koordinatoj, prezentita far Aŭgusto Ferdinand Möbius, permesi afinaj transformoj esti facile prezentitaj per matrico. Ankaŭ ili faras kalkulojn eblaj en projekcia spaco samkiel Karteziaj koordinatoj faras en Eŭklida spaco. La homogenaj koordinatoj de punkto de projekcia spaco de dimensio n estas kutime skribita kiel (x : y : z : ... : w), (linio, vico) vektoro de longo n + 1, escepte (0 : 0 : 0 : ... : 0). Du aroj de koordinatoj, kiuj estas proporciaj signifas la saman punkton de projekcia spaco: por (ĉiu, iu) ne-nula skalaro c de la suba kampo K, (cX : cy : cz : ... : cw) signifas la saman punkton. Pro tio, ĉi tiu sistemo de koordinatoj povas esti eksplikita kiel sekvas: se la projekcia spaco estas konstruita el vektora spaco V de dimensio n + 1, prezenti koordinatojn en V per elektanta bazo, kaj uzi ĉi tiuj en P(V), la ekvivalento-klasoj de proporcia ne-nulaj vektoroj en V.

Prenante la ekzemplon de projekcia spaco de dimensio tri, tie estos esti homogenaj koordinatoj (x : y : z : w). La ebeno je malfinio estas kutime identigita kun la aro de punktoj kun w = 0. For de ĉi tiu ebeno ni povas uzi (x/w, y/w, z/w) kiel ordinaran Kartezian sistemon; pro tio la afina spaco komplementa al la ebeno je malfinio estas koordinatizita laŭ familiara maniero, kun bazo koresponda (1 : 0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0 : 1), (0 : 0 : 1 : 1).

Se ni provas sekci la du (planoj, ebenoj)n difinitajn per ekvacioj x = w kaj x = 2w tiam ni klare derivos unua w = 0 kaj tiam x = 0. Tio diras, ke ni (tiu, ke, kiu) la komunaĵo estas enhavita en la ebeno je malfinio, kaj konsistas el ĉiuj punktoj kun koordinatoj (0 : y : z : 0). Ĝi estas linio, kaj fakte la linio (aniĝanta, aliganta, aliĝanta) (0 : 1 : 0 : 0) kaj (0 : 0 : 1 : 0). La linio estas donita per la ekvacio

(0: y : z :0) = μ(1 - λ)(0:1:0:0) + μλ(0:0:1:0)

kie μ estas (krustanta, skalanta) faktoro. La (krustanta, skalanta) faktoro povas esti (ĝustigita, adaptita, alĝustigita) al ununormigi la koordinatojn (0 : y : z : 0), per tio eliminanta unu de la du gradoj de libereco. La rezulto estas aro de punktoj kun nur unu grado de libereco, kiel estas atendita por linio.

Enhavo

1 Krampoj kontraŭ parantezoj
2 Aldono de homogenaj koordinatoj
3 Skalara multipliko de homogenaj koordinatoj
4 Linearaj kombinaĵoj de punktoj priskribis kun homogenaj koordinatoj

[redaktu] Krampoj kontraŭ parantezoj

Konsideri projekcia 2-spaco: punktoj en la projekcia ebeno estas projekcioj de punktoj en 3-spaco ("3-D punktoj"). Lasu ke la notacio (skribmaniero)

(x : y : z)

temu pri unu de ĉi tiuj 3-D punktoj. Lasu ke

(u : v : w)

temu pri alia 3-D punkto. Tiam

$(x:y:z) = (u:v:w) \leftrightarrow x=u \wedge y=v \wedge z=w.$

Aliflanke, lasu ke la notacio (skribmaniero)

[x : y : z]

signifi la projekcion de 3-D punkto (x : y : z) sur la projekcia ebeno. La punkto [x : y : z] povas esti konsiderata esti egala al ekvivalento-klaso de 3-D punktoj kiu apartenas la 3-D linio (trairanta, pasanta) tra la punktoj (x : y : z) kaj (0 : 0 : 0). Se

[u : v : w]

estas alia projekcia punkto, tiam

$[x:y:z] = [u:v:w] \leftrightarrow \exists \alpha (x = \alpha u \wedge y = \alpha v \wedge z = \alpha w ).$

Du 3-D punktoj estas ekvivalento se iliaj projekcioj sur la projekcia ebeno estas egala:

$(x:y:z) \equiv (u:v:w) \leftrightarrow \exists \alpha (x = \alpha u \wedge y = \alpha v \wedge z = \alpha w ).$

Tial,

$(x:y:z) \equiv (u:v:w) \leftrightarrow [x:y:z] = [u:v:w].$

[redaktu] Aldono de homogenaj koordinatoj

Ĉi tiu distingo inter krampoj kaj parantezoj signifas, ke aldono de punktoj en homogenaj koordinatoj estos difinita en du malsamaj manieroj, depende de tio, ĉu la koordinatoj estas enmetitaj kun krampoj aŭ parantezoj.

Konsideri iam denove la kazo de la projekcia ebeno. Aldono de paro de 3-D punktoj estas la sama kiel por ordinaraj koordinatoj:

(a : b : c) + (x : y : z) = (a + x : b + y : c + z).

Aliflanke, aldono de paro de projekciitaj punktoj povas esti difinita tial:

[a : b : c] + [x : y : z] = [z a + x c : z b + y c : c z].

Por projekcia 3-spaco, similaj konsideroj apliki. Aldono de paro de nrprojekciitaj punktoj estas

(a : b : c : d) + (x : y : z : w) = (a + x : b + y : c + z : d + w)

(dum, ĉar) aldono de paro de projekciitaj punktoj estas

[a : b : c : d] + [x : y : z : w] = [w a + d x : w b + d y : w c + d z : d w].

[redaktu] Skalara multipliko de homogenaj koordinatoj

Estas du specoj de skalara multipliko: unu por neprojekciitaj punktoj kaj alia unu por projekciitaj punktoj.

Konsideri skalaro a kaj neprojekciita 3-D punkto (x : y : z). Tiam

a (x : y : z) = (a x : a y : a z).

(Rimarki, Avizo), ke

$(x:y:z) \equiv a (x:y:z)$

eĉ kvankam

$(x:y:z) \ne a (x:y:z).$

Nun konsideri la skalaro a kaj projekciita) punkto [x : y : z]. Tiam

a [x : y : z] = [a x : a y : z]

tiel ke

$[x:y:z] \ne a [x:y:z].$

(Rimarki, Avizo) tamen speciala okazo - se $a = z = 0$ , la pli supre formulo donas [0:0:0] kiel rezulto, kiu kiel ni scii ne prezenti (ĉiu, iu) punkto. Ja $0 \cdot \infty$ estas nedefinita, (do, tiel) ĉi tiu estas ne krevaĵo en la difino.

[redaktu] Linearaj kombinaĵoj de punktoj priskribis kun homogenaj koordinatoj

Estu tie esti paro de punktoj A kaj B en projekcia 3-spaco, kies homogenaj koordinatoj estas

$\mathbf{A} : [X_A:Y_A:Z_A:W_A],$

$\mathbf{B} : [X_B:Y_B:Z_B:W_B].$

Estas dezirite trovi ilian [[lineara kombinaĵo]|liniaran kombinaĵon] $a \mathbf{A} + b \mathbf{B}$ kie a kaj b estas koeficientoj kiu povas esti (ĝustigita, adaptita, alĝustigita) laŭvole, kun la kondiĉo, ke $a,b \ne 0$ , aŭ (pli ĝuste), ke $a \mathbf{A}, b \mathbf{B} \ne 0$ , eviti degeneri punktoj. Estas tri kazoj por konsideri:

ambaŭ punktoj aparteni afina 3-spaco,
ambaŭ punktoj aparteni la ebeno je malfinio,
unu punkto estas afina kaj la alia unu estas je malfinio.

La koordinatoj X, Y, kaj Z povas esti konsiderataj kiel numeratoroj, (dum, ĉar) la W koordinato povas esti konsiderata kiel denominatoro. Por adicii homogena koordinata estas necese, ke la denominatoro esti komuna. Alie ĝi estas necese reskaligi la koordinatojn ĝis ĉiuj denominatoroj estas komunaj. Homogenaj koordinatoj estas ekvivalento supren al (ĉiu, iu) uniformo reskaligo.

[redaktu] Ambaŭ punktoj estas afina

Se ambaŭ punktoj estas en afina 3-spaco, tiam $W_A \ne 0$ kaj $W_B \ne 0$ . Ilia lineara kombinaĵo estas

$a [X_A:Y_A:Z_A:W_A] + b[X_B:Y_B:Z_B:W_B] \$

$= [a X_A:a Y_A:a Z_A:W_A] + [b X_B:b Y_B:b Z_B:W_B] \$

$= \left[ a {X_A \over W_A} : a {Y_A \over W_A} : a {Z_A \over W_A} : 1 \right] + \left[ b {X_B \over W_B} : b {Y_B \over W_B} : b {Z_B \over W_B} : 1 \right]$

$= \left[ a {X_A \over W_A} + b {X_B \over W_B} : a {Y_A \over W_A} + b {Y_B \over W_B} : a {Z_A \over W_A} + b {Z_B \over W_B} : 1 \right] .$

[redaktu] Ambaŭ punktoj estas je malfinio

Se ambaŭ punktoj estas sur la ebeno je malfinio, tiam W_A = 0 kaj W_B = 0. Ilia lineara kombinaĵo estas

a [X A : Y A : Z A : W A] + b [X B : Y B : Z B : W B] = [a X A : a Y A : a Z A :0] + [b X B : b Y B : b Z B :0]

= [a X A + b X B : a Y A + b Y B : a Z A + b Z B :0].

[redaktu] Unu punkto estas afina kaj la alia je malfinio

Estu la unua punkto esti afina, tiel ke $W_A \ne 0$ . Tiam

a [X A : Y A : Z A : W A] + b [X B : Y B : Z B :0]

= a [0:0:0:0] + b [X B : Y B : Z B :0],

= [b X B : b Y B : b Z B :0],

kio signifas, ke la punkto je malfinio estas "domina".

[redaktu] Ĝenerala kazo

La kalkulo povas ankaŭ esti portita super sen distingi inter kazoj simile al la aldono de du punktoj:

a [X A : Y A : Z A : W A] + b [X B : Y B : Z B : W B]

= [a W B X A + b W A X B : a W B Y A + b W A Y B : a W B Z A + b W A Z B : W A W B]

Startanta de ĉi tiu, oni povas rao-ricevi la formuloj por pli supre kazoj.

En aparta, aplikanta ĉi tiu formulon en la degeneraj kazoj donas ni (tiu, ke, kiu) sumanta $[0:0:0:0]$ kun io alia produktas $[0:0:0:0]$ denove.

Vidu ankaŭ jenon:: pezocentraj koordinatoj.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Homogenaj_koordinatoj_9f12.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Lineara algebro | Projekcia geometrio