Vikipedio:Projekto matematiko/Kompakta operatoro

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Kompakta operatoro
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En funkcionala analitiko, kompakta operatoro (aŭ plene kontinua operatoro) estas lineara operatoro L de Banaĥa spaco X al alia Banaĥa spaco Y, tia (tiu, ke, kiu) la bildo sub L de (ĉiu, iu) barita subaro de X estas relative kompakta subaro de Y. Tia operatoro estas bezone barita operatoro, kaj (do, tiel) kontinua. (Ĉiu, Iu) L (tiu, ke, kiu) havas finia rango estas kompakta operatoro; ja, la klaso de kompaktaj operatoroj estas natura ĝeneraligo de la klaso de finia rango (operatoroj, operatoras) en malfinidimensia opcio. Kiam X = Y kaj estas Hilberta spaco, ĝi estas vera (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) kompakta operatoro estas limigo de finia rango (operatoroj, operatoras), tiel ke la klaso de kompaktaj operatoroj povas esti difinita alternative kiel la (fermaĵo, adheraĵo) en la operatora normo de la finia rango (operatoroj, operatoras). Ĉu ĉi tiu estis vera en ĝenerala por Banaĥaj spacoj (la proksimuma kalkulada propraĵo) estis nesolvita demando por multaj (jaroj, jaras); en la fino _Enflo_ donis kontraŭekzemplo.

La fonto de la teorio de kompaktaj operatoroj estas en la teorio de integralaj ekvacioj. Tipa _Fredholm_ integrala ekvacio donas pligrandiĝo al kompakta operatoro K sur funkciaj spacoj; la kompakteca propraĵo estas montrita per _equicontinuity_. La maniero de proksimuma kalkulado per finia rango (operatoroj, operatoras) estas baza en la cifereca solvaĵo de tiaj ekvacioj. La abstrakta ideo de _Fredholm_ operatoro estas derivita de ĉi tiu ligo.

La spektra teorio por kompaktaj operatoroj teorie estis laborita ekster per _Frigyes_ _Riesz_ ((publikigita, publikigis) 1918). Ĝi montras (tiu, ke, kiu) kompakta operatoro K sur malfinidimensia Banaĥa spaco havas spektra tio estas ĉu finia subaro de C kiu inkluzivas 0, aŭ kalkuleble-malfinia subaro de C kiu havas 0 kiel ĝia nur limiga punkto. Ankaŭ, en ĉu (kesto, okazo) la ne-nulaj eroj de la spektro estas (ajgenoj, ajgenas) de K kun finia (oblecoj, oblecas) (tiel ke K − λMi havas finidimensia kerno por ĉiu komplekso λ ≠ 0).

La kompaktaj operatoroj de Banaĥa spaco al sin (formo, formi) duflanka idealo en la algebro de ĉiuj baritaj operatoroj sur la spaco. Ja, la kompaktaj operatoroj sur Hilberta spaco (formo, formi) maksimuma idealo, (do, tiel) la kvocienta algebro, sciata kiel la _Calkin_ algebro, estas simpla.

(Ekzemploj, Ekzemplas) de kompaktaj operatoroj inkluzivi Hilberto-Schmidt-a (operatoroj, operatoras), aŭ pli ĝenerale, (operatoroj, operatoras) en la Schmidt-a klaso.

[redaktu] Kompakta operatoro sur Hilbertaj spacoj

Ekvivalenta difino de kompaktaj operatoroj sur Hilberta spaco (majo, povas) esti donita kiel sekvas.

Operatoro $\mathcal{L}$ sur Hilberta spaco $\mathcal{H}$

$\mathcal{L}:\mathcal{H} \to \mathcal{H}$

estas dirita al esti kompakta se ĝi povas esti skribita en la (formo, formi)

$\mathcal{L} = \sum_{n=1}^N \lambda_n \langle f_n, \cdot \rangle g_n$

kie $1 \le N \le \infty$ kaj $f_1,\ldots,f_N$ kaj $g_1,\ldots,g_N$ estas (ne bezone plenumi) ortnormalaj aroj. Ĉi tie, $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$ estas vico de (reala, reela) aŭ kompleksaj nombroj, la singularo (valoroj, valoras) de la operatoro, kiu strebas al nulo se la vico estas malfinio. La krampo $\langle\cdot,\cdot\rangle$ estas la skalara produto sur la Hilberta spaco; la (sumo, sumi) dekstre mana flanko devas konverĝi en la normo.

Grava subklaso de kompaktaj operatoroj estas la spuro-klaso aŭ nukleaj operatoroj.

[redaktu] Iuj propraĵoj de kompaktaj operatoroj

En jeno, X,Y,Z,W estas Banaĥaj spacoj, B(X,Y) estas spaco de baritaj operatoroj de X al Y, K(X,Y) estas spaco de kompaktaj operatoroj de X al Y, B(X)=B(X,X), K(X)=K(X,X), $B X$ estas la unuobla pilko en X, $i d X$ estas la identa operatoro sur X.

A barita operatoro estas kompakta se kaj nur se (ĉiu, iu) de jeno estas vera
- $T (B X)$ estas relative kompakta en Y.
- Bildo de (ĉiu, iu) barita aro sub T estas relative kompakta en Y.
- Bildo de (ĉiu, iu) barita aro sub T estas tutece barita en Y.
- tie ekzistas najbaraĵo de 0, $U\subset X$ , kaj kompakta aro $V\subset Y$ tia (tiu, ke, kiu) $T(U)\subset V$ .
- Por (ĉiu, iu) vico $(x_ n)_{n\in \mathbb N}$ de la unuobla pilko $B X$ , la vico $(Tx_n)_{n\in\mathbb N}$ enhavas Koŝia subvico.
K(X,Y) estas (fermita, fermis) subspaco de B(X,Y)
$B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subseteq K(W,Z)$ Ĉi tiu estas ĝeneraligo de la (propozicio, frazo, ordono) (tiu, ke, kiu) K(X) (formoj, formas) duflanka operatora idealo en B(X)
$i d X$ estas kompakta se kaj nur se X havas finia dimensio
Por (ĉiu, iu) kompakta operatoro $T\in K(X)$ , $i d X - T$ estas _Fredholm_ operatoro kun indekso 0.