Vikipedio:Projekto matematiko/Kurbeco de rimanaj duktoj

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Kurbeco de rimanaj duktoj
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, aparte diferenciala geometrio, la infinitezima geometrio de Rimanaj duktoj kun dimensio almenaŭ 3 estas ankaŭ komplika al esti priskribita per sola nombro je donita punkto. Rimano prezentis vojo al priskribi ĝi kiel "malgranda monstra tensoro". Simila (komprenaĵoj, nocioj, nocias) havi fundamenti aplikoj ĉie en diferenciala geometrio.

Por pli rudimenta diskuto vidi la artikolo sur kurbecaj kiuj diskutoj la kurbeco de kurboj kaj (surfacoj, surfacas) en 2 kaj 3 (dimensioj, dimensias).

La kurbeco de Pseŭdo-rimana dukto povas esti esprimita en la sama vojo kun nur _slight_ (ŝanĝoj, ŝanĝas).

Enhavo

1 (Vojoj, Vojas) al (ekspreso, esprimi) la kurbeco de Rimana dukto
2 Plui kurbecaj tensoroj
3 Kalkulo de kurbeco

[redaktu] (Vojoj, Vojas) al (ekspreso, esprimi) la kurbeco de Rimana dukto

[redaktu] La kurbeca tensoro

La kurbeco de Rimana dukto povas esti priskribita diversmaniere; la plej normo unu estas la kurbeca tensoro, donita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de Ligo de Levi-Civita (aŭ kunvarianca diferencialado) $\nabla$ kaj (Mensogi, Kuŝi) krampo $[ * , * ]$ per jena formulo:

$R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w -\nabla_{[u,v]} w .$

Ĉi tie $R (u, v)$ estas lineara transformo de la tangenta spaco de la (dukto (matematiko), dukto); ĝi estas lineara en ĉiu argumento. Se $u=\partial/\partial x_i$ kaj $v=\partial/\partial x_j$ estas koordinataj vektoraj kampoj tiam $[u, v] = 0$ kaj pro tio la formulo (simpligas, plisimpligas) al

$R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w$

kio estas la kurbeca tensoro (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj) _noncommutativity_ de la kunvarianca derivaĵo.

La lineara transformo $w\mapsto R(u,v)w$ estas ankaŭ (nomita, vokis) la kurbeca transformo aŭ endomorfio.

Nb. Estas kelkaj (libroj, mendas) kie la kurbeca tensoro estas difinita kun kontraŭa signo.

[redaktu] Simetrioj kaj identoj

La kurbeca tensoro havas jenaj simetrioj:

$R(u,v)=-R(v,u)^{}_{}$

$\langle R(u,v)w,z \rangle=-\langle R(u,v)z,w \rangle^{}_{}$

$R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0 ^{}_{}$

La lasta idento estis esplorita per _Ricci_, sed estas ofte (nomita, vokis) la unua _Bianchi_ idento, (justa, ĵus) ĉar ĝi (aspektas, aspektoj, rigardas) simila al la _Bianchi_ idento pli sube. Ĉi tiuj tri identoj (formo, formi) plenumi listo de simetrioj de la kurbeca tensoro, kio estas donita (ĉiu, iu) tensoro kiu (verigas, kontentigas) la identoj pli supre, unu povita trovi Rimana dukto kun tia kurbeca tensoro je iu punkto. Simplaj kalkuloj montri (tiu, ke, kiu) tia tensoro havas $n 2 (n 2 - 1) / 12$ sendependa (komponantoj, komponantas). Ankoraŭ alia utila idento sekvas de ĉi tiuj tri:

$\langle R(u,v)w,z \rangle=\langle R(w,z)u,v \rangle^{}_{}$

La _Bianchi_ idento (ofte la (sekundo, dua) _Bianchi_ idento) engaĝas la kunvariancaj derivaĵoj:

$\nabla_uR(v,w)+\nabla_vR(w,u)+\nabla_w R(u,v)=0$

[redaktu] Sekcia kurbeco

Sekcia kurbeco estas plui, ekvivalento sed pli geometria, priskribo de la kurbeco de rimanaj duktoj. Ĝi estas funkcio $K (σ)$ kiu dependas sur sekcio $σ$ (kio estas 2-ebeno en la tangentaj spacoj). Ĝi estas la Gaŭsa kurbeco de la $σ$ -sekcio je p; ĉi tie $σ$ -sekcio estas loke-difinita peco de surfaco kiu havas la ebeno $σ$ kiel tangenta ebeno je p, ricevis de geodezio kiu starti je p en la (direktoj, instrukcio) de la bildo de $σ$ sub la eksponenta funkcia surĵeto je p.

Se $v, u$ estas du lineare sendependa (vektoroj, vektoras) en $σ$ tiam

$K(\sigma)= K(u,v)/|u\wedge v|^2\ \ \mbox{where}\ \ K(u,v)=\langle R(u,v)v,u \rangle$

Jena kompleksa formulo indikas (tiu, ke, kiu) sekcia kurbeco priskribas la kurbeca tensoro plene:

$6\langle R(u,v)w,z \rangle =^{}_{}$

$[K(u+z,v+w)-K(u+z,v)-K(u+z,w)-K(u,v+w)-K(z,v+w)-K(v+z,u)+K(u,w)+K(v,z)]-^{}_{}$

$[K(u+w,v+z)-K(u+w,v)-K(u+w,z)-K(u,v+z)-K(w,v+z)-K(u+w,v)+K(v,w)+K(u,z)].^{}_{}$

[redaktu] Kurbeca formo

La _Cartan_ formalismo donas tre eleganta vojo al priskribi kurbeco. Ĝi estas uzita pli por ĝeneralaj vektoraj pakaĵoj, kaj por ĉefaj pakaĵoj, sed ĝi (laboroj, laboras) (justa, ĵus) kiel bone por la tangenta pakaĵo kun la Ligo de Levi-Civita. La kurbeco de n-dimensia Rimana dukto estas donita per malsimetria n×n matrico $\Omega^{}_{}=\Omega^i_j$ de 2-(formoj, formas) (aŭ ekvivalente 2-(formo, formi) kun (valoroj, valoras) en $s o (n)$ , la (Mensogi, Kuŝi) algebro de la perpendikulara grupo $O (n)$ , kiu estas la struktura grupo de la tangenta pakaĵo de Rimana dukto).

Estu $e i$ esti loka sekcio de ortnormala (bazas, bazoj). Tiam unu povas difini la liga formo, kontraŭsimetria matrico de 1-(formoj, formas) $\omega=\omega^i_j$ kiu kontentigi de jena idento

$\omega^k_j(e_i)=\langle \nabla_{e_i}e_j,e_k\rangle$

Tiam la kurbeca formo $\Omega=\Omega^i_j$ estas difinita per

$\Omega=d\omega +\omega\wedge\omega$

Jeno priskribas rilato inter kurbeca formo kaj kurbeca tensoro:

$R(u,v)w=\Omega(u\wedge v)w.$

Ĉi tiu (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) (masonas, ĉarpentas, konstruas) totale simetrioj de kurbeca tensoro escepti la unua _Bianchi_ idento, kiu prenas (formo, formi)

$\Omega\wedge\theta=0$

kie $θ = θ i$ estas n-vektoro de 1-(formoj, formas) difinita per $\theta^i(v)=\langle e_i,v\rangle$ . La (sekundo, dua) _Bianchi_ idento prenas (formo, formi)

D Ω = 0

D signifas la eksteraĵa kunvarianca derivaĵo

[redaktu] La kurbeca operatoro

Ĝi estas iam oportuna al pripensi kurbeco kiel operatoro $Q$ sur tangento (duvektoroj, duvektoras) (eroj de $Λ 2 (T)$ ), kiu estas unike difinita per jena idento:

$\langle Q (u\wedge v),w\wedge z\rangle=\langle R(u,v)w,z \rangle.$

Ĝi estas ebla al fari ĉi tiu precize pro la simetrioj de la kurbeca tensoro (nome malsimetrio en la unua kaj lasta (paroj, paras) de indeksoj, kaj (bari, bloko)-simetrio de tiuj (paroj, paras)).

[redaktu] Plui kurbecaj tensoroj

En ĝenerala jeno (tensoroj, tensoras) kaj funkcioj ne priskribi la kurbeca tensoro plene, tamen ili ludi grava rolo.

[redaktu] Skalara kurbeco

Skalara kurbeco estas funkcio sur (ĉiu, iu) Rimana dukto, kutime signifis per _Sc_. Ĝi estas la plena spuro de la kurbeca tensoro; donita ortnormala bazo ${e i}$ en la tangenta spaco je p ni havi

$S\! c=\sum_{i,j}\langle R(e_i,e_j)e_j,e_i\rangle=\sum_{i}\langle Ric(e_i),e_i\rangle,$

kie _Ric_ signifas _Ricci_ tensoro. La rezulto ne dependi sur la elekto de ortnormala bazo. Startanta kun dimensio 3, skalara kurbeco ne priskribi la kurbeca tensoro plene.

[redaktu] _Ricci_ kurbeco

_Ricci_ kurbeco estas lineara operatoro sur tangenta spaco je punkto, kutime signifis per _Ric_. Donita ortnormala bazo ${e i}$ en la tangenta spaco je p ni havi

$Ric(u)=\sum_{i} R(u,e_i)e_i.^{}_{}$

La rezulto ne dependi sur la elekto de ortnormala bazo. Startanta kun dimensio 4, _Ricci_ kurbeco ne priskribi la kurbeca tensoro plene.

Eksplicitaj esprimoj por la _Ricci_ tensoro en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la Ligo de Levi-Civita estas donita en la artikolo sur _Christoffel_ (simboloj, simbolas).

[redaktu] Kurbeco de Weyl tensoro

La Kurbeco de Weyl tensoro havas la samaj simetrioj kiel la kurbeca tensoro, plus unu superflua: ĝia _Ricci_ kurbeco devas nuliĝi. En (dimensioj, dimensias) 2 kaj 3 Kurbeco de Weyl _vanishes_, sed se la dimensio n > 3 tiam la (sekundo, dua) parto povas esti ne-nulo.

La kurbeca tensoro povas esti malkomponita enen la parto kiu dependas sur la _Ricci_ kurbeco, kaj la Tensoro de Weyl.
Se g′=_fg_ por iu pozitiva skalara funkcio f — konforma ŝanĝi de metriko — tiam W ′ = W.
Por (dukto (matematiko), dukto) de konstanta kurbeco, la Tensoro de Weyl estas nulo.
- Ankaŭ, W=0 se kaj nur se la metriko estas loke konforma al la norma Eŭklida metriko (egala al _fg_, kie g estas la norma metriko en iu koordinata kadro kaj f estas iu skalara funkcio).

[redaktu] Kalkulo de kurbeco

Por kalkulo de kurbeco

de _hypersurfaces_ kaj (subduktoj, subduktas) vidi dua fundamenta formo,
en (koordinatoj, koordinatas) vidi kunvarianca derivaĵo,
per movantaj kadroj vidi _Cartan_ ligo kaj kurbeca formo.
la Jakobia ekvacio povas helpi se unu (konas, scias) io pri la konduto de geodezio.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Kurbeco_de_rimanaj_duktoj_9d61.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Rimana geometrio