Vikipedio:Projekto matematiko/Lineara subspaco

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Lineara subspaco (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

La koncepto de lineara subspaco (aŭ vektora subspaco) estas grava en lineara algebro kaj rilatantaj kampoj de matematiko. Lineara subspaco estas kutime (nomita, vokis) simple subspaco kiam la ĉirkaŭteksto servas al (distingi, diferencigi) ĝi de alia (specoj, specas) de (subspacoj, subspacas).

Enhavo 1 Difino kaj utila karakterizado 2 (Ekzemploj, Ekzemplas) 2.1 (Ekzemploj, Ekzemplas) rilatanta al analitika geometrio 2.2 (Ekzemploj, Ekzemplas) rilatanta al kalkulo 3 Propraĵoj de (subspacoj, subspacas) 4 (Operacioj, Operacias) sur (subspacoj, subspacas) 5 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Difino kaj utila karakterizado

Estu K esti kampo (kiel la kampo de reelaj nombroj), kaj estu V esti vektora spaco super K. Kiel kutima, ni (voko, voki) eroj de V (vektoroj, vektoras) kaj (voko, voki) eroj de K (skalaroj, skalaras). Supozi (tiu, ke, kiu) W estas subaro de V. Se W estas vektora spaca sin, kun la sama vektora spaco (operacioj, operacias) kiel V havas, tiam ĝi estas subspaco de V.

Al uzi ĉi tiu difino, ni don't devi pruvi (tiu, ke, kiu) ĉiuj propraĵoj de vektora spaco teni por W. Anstataŭe, ni povas pruvi teoremo (tiu, ke, kiu) donas ni pli simpla vojo al montri (tiu, ke, kiu) subaro de vektora spaco estas subspaco.

Teoremo: Estu V esti vektora spaco super la kampo K, kaj estu W esti subaro de V. Tiam W estas subspaco se kaj nur se ĝi (verigas, kontentigas) jeno 3 kondiĉoj:

1. Se u kaj v estas eroj de W, tiam la (sumo, sumi) u + v de u kaj v estas ero de W;
2. Se u estas ero de W kaj c estas skalaro de K, tiam la skalara produto cu estas ero de W;
3. W estas ne malplena, aŭ W enhavas nula vektoro^*

^*Kutime ni (bezoni, bezono, necesa) nur pruvi ekzisto de nulo: Se W enhavas nulo, ĝi estas ne malplena, kaj se W faras ne enhavi nulo, ĝi estas ne vektora spaco.

Pruvo: (Aspektanta, Rigardanta) je la difino de vektora spaco, ni vidi (tiu, ke, kiu) propraĵoj 1 kaj 2 pli supre certigi (fermaĵo, adheraĵo) de W sub (aldono, adicio) kaj skalara multipliko, (do, tiel) la vektora spaco (operacioj, operacias) estas bone difinita. Per propraĵo 3, estas iu ero w de W. Multiplikante ĉi tiu per la skalaro 0, ni preni alsuma idento, 0w = 0 en W, kaj ni preni la kontraŭegalo de (ĉiu, iu) vektoro en W per multiplikante ĝi per la skalaro −1. Ekde eroj de W estas bezone eroj de V, la aliaj propraĵoj de vektora spaco estas kontentigita _fortiori_.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas) rilatanta al analitika geometrio

Ekzemplo Mi: Estu la kampo K esti la aro R de reelaj nombroj, kaj estu la vektora spaco V esti la Eŭklida spaco R³. Preni W al esti la aro de ĉiuj (vektoroj, vektoras) en V kies lasta komponanto estas 0. Tiam W estas subspaco de V.

Pruvo:

1. Donita u kaj v en W, tiam ili povas esti esprimita kiel u = (u₁,u₂,0) kaj v = (v₁,v₂,0). Tiam u + v = (u₁+v₁,u₂+v₂,0+0) = (u₁+v₁,u₂+v₂,0). Tial, u + v estas ero de W ankaŭ.
2. Donita u en W kaj skalaro c en R, se u = (u₁,u₂,0) denove, tiam cu = (c'u₁,c'u₂,c0) = (c'u₁,c'u₂,0). Tial, cu estas ero de W ankaŭ.
3. 0 = (0,0,0) estas (tuj, senpere) ero de W.

Ekzemplo II: Estu la kampo esti R denove, sed nun estu la vektora spaco esti la Eŭklida geometrio R². Preni W al esti la aro de punktoj (x,y) de R² tia (tiu, ke, kiu) x = y. Tiam W estas subspaco de R².

Pruvo:

1. Estu p = (p₁,p₂) kaj q = (q₁,q₂) esti eroj de W, tio estas, punktoj en la ebeno tia (tiu, ke, kiu) p₁ = p₂ kaj q₁ = q₂. Tiam p + q = (p₁+q₁,p₂+q₂); ekde p₁ = p₂ kaj q₁ = q₂, tiam p₁ + q₁ = p₂ + q₂, (do, tiel) p + q estas ero de W.
2. Estu p = (p₁,p₂) esti ero de W, tio estas, punkto en la ebeno tia (tiu, ke, kiu) p₁ = p₂, kaj estu c esti skalaro en R. Tiam cp = (c'p₁,c'p₂); ekde p₁ = p₂, tiam c'p₁ = c'p₂, (do, tiel) cp estas ero de W.
3. Denove, la punkto 0 = (0,0) apartenas al W, ekde 0 = 0.

En ĝenerala, (ĉiu, iu) subaro de Eŭklida spaco Rⁿ tio estas difinita per sistemo de homogenaj linearaj ekvacioj estos liveri subspaco. (La ekvacio en ekzemplo Mi estita z = 0, kaj la ekvacio en ekzemplo II estita x = y.) Geometrie, ĉi tiuj (subspacoj, subspacas) estas punktoj, linioj, (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas), kaj tiel plu, (tiu, ke, kiu) trapasi la punkto 0.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas) rilatanta al kalkulo

Ekzemplo III: Denove preni la kampo al esti R, sed nun estu la vektora spaco V esti la aro R^R de ĉiuj funkcioj de R al R. Estu C(R) esti la subaro konsistanta de kontinuaj funkcioj. Tiam C(R) estas subspaco de R^R.

Pruvo:

1. Ni scii de kalkulo la (sumo, sumi) de kontinuaj funkcioj estas kontinua.
2. Denove, ni scii de kalkulo (tiu, ke, kiu) la (produkto, produto) de kontinua funkcio kaj nombro estas kontinua.
3. Konsideri la funkcio 0 de R al R difinis per 0(x) = 0 por ĉiuj x en R. Ĉi tiu nula funkcio estas kontinua de R enen R.

Ekzemplo Iv: Konservi la sama kampo kaj vektora spaco kiel antaŭ, sed nun konsideri la aro _Diff_(R) de ĉiuj diferencialeblaj funkcioj. La sama (speco, ordigo) de argumento kiel antaŭ montras (tiu, ke, kiu) ĉi tiu estas subspaco ankaŭ.

(Ekzemploj, Ekzemplas) (tiu, ke, kiu) etendi ĉi tiuj (temoj, temas) estas komuna en funkcionala analitiko.

[redaktu] Propraĵoj de (subspacoj, subspacas)

En la (ekzemploj, ekzemplas) pli supre, ni ĉiam fundamenti (tiu, ke, kiu) la subspaco estis nemalplena ĉar la nula vektoro apartenis al ĝi. Ĉi tiu estas ne _coincidence_; fakte, 0 ĉiam apartenas al ĉiu subspaco, kaj ĝi's kutime la plej facila kaj plej natura vojo al kontroli kondiĉo 3.

Alia vojo al _characterise_ (subspacoj, subspacas) estas (tiu, ke, kiu) ili estas (fermita, fermis) sub linearaj kombinaĵoj. Tio estas, W estas subspaco se kaj nur se ĉiu lineara kombinaĵo de (finie multaj) eroj de W ankaŭ apartenas al W. Kondiĉoj 1, 2, kaj 3 por subspaco estas simple la plej baza (specoj, specas) de linearaj kombinaĵoj (kie por kondiĉo 3, ni memori (tiu, ke, kiu) lineara kombinaĵo de ne (vektoroj, vektoras) ajn rendimento la nula vektoro).

[redaktu] (Operacioj, Operacias) sur (subspacoj, subspacas)

Donita (subspacoj, subspacas) U kaj W de vektora spaco V, tiam ilia komunaĵo U &ĉapo; W := {v &_isin_; V : v estas ero de ambaŭ U kaj W} estas ankaŭ subspaco de V.

Pruvo:

1. Estu v kaj w esti eroj de U &ĉapo; W. Tiam v kaj w aparteni ambaŭ U kaj W. Ĉar U estas subspaco, tiam v + w apartenas al U. Simile, ekde W estas subspaco, tiam v + w apartenas al W. Tial, v + w apartenas al U &ĉapo; W.
2. Estu v aparteni U &ĉapo; W, kaj estu c esti skalaro. Tiam v apartenas al ambaŭ U kaj W. Ekde U kaj W estas (subspacoj, subspacas), cv apartenas al ambaŭ U kaj W.
3. Ekde U kaj W estas (subspacoj, subspacas) de V, 0 apartenas al ambaŭ U kaj W per propraĵo en la antaŭa sekcio. Tial, U &ĉapo; W estas nemalplena.

Plue, la (sumo, sumi)

estas ankaŭ subspaco de V. La (dimensioj, dimensias) de U ∩ W kaj U + W kontentigi

Por ĉiu vektora spaco V, la aro {0} kaj V sin estas (subspacoj, subspacas) de V.

Se V estas ena (produkto, produto) spaco, tiam la perpendikulara komplemento de (ĉiu, iu) subspaco de V estas denove subspaco.

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

• .