Vikipedio:Projekto matematiko/Modela teorio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Modela teorio (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Ĉi tiu artikola diskutas modelan teorion kiel matematika disciplino kaj ne la neformale uzita termino matematika modelo kiel uzita en aliaj partoj de matematiko kaj scienco.

En matematiko, modela teorio estas la studo de la prezento de matematikaj konceptoj en (termoj, kondiĉoj, terminoj) de aroteorio, aŭ la studo de la modeloj kiuj subkuŝas matematikajn sistemojn. Ĝi alprenas, ke estas iuj antaŭ-ekzistantaj matematikaj objektoj malsubjektive, kaj demandas demandojn taksantajn kiel aŭ kio povas esti pruvita donita la objektoj, iuj operacioj aŭ rilatoj inter la objektoj, kaj aro de aksiomoj.

La sendependeco de la aksiomo de elekto kaj la kontinuaĵa hipotezo de la aliaj aksiomoj de aroteorio (pruvita far (Paŭlo, Bono) Cohen kaj Kurt Gödel) estas la du plej famaj rezultoj ekestantaj de modela teorio. Estis pruvite, ke kaj la aksiomo de elekto kaj ĝia nego estas konsekvenca kun la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel de aroteorio; la sama rezulto validas por la kontinuaĵa hipotezo. Ĉi tiuj rezultoj estas aplikoj de modelo-teoriaj manieroj al aksioma aroteorio.

Ekzemplo de la konceptoj de modela teorio estas provizita per la teorio de la reelaj nombroj. Ni komencu per aro de individuoj, kie ĉiu persono estas reela nombro, kaj aro de rilatoj kaj/aŭ funkcioj, kiel { ×, +, −, ., 0, 1 }. Se ni demandas demandon kiel "∃ y (y × y = 1 + 1)" en ĉi tiu lingvo, tiam estas klare, ke la propozicio estas vera por la reelaj nombroj - estas tia reela nombro y, nome la kvadrata radiko de 2; por la racionalaj nombroj, tamen, la propozicio estas malvera. Simila propozicio, "∃ y (y × y = 0 − 1)", estas malvera en la reelaj nombroj, sed estas vera en la kompleksaj nombroj, kie i × i = 0 − 1.

Modela teorio do estas koncernita kun kio estas demonstrebla en donitaj matematikaj sistemoj, kaj kiel ĉi tiuj sistemoj rilatas unu al la alia. Ĝi estas aparte koncernita kun kio okazas kiam ni provas etendi iun sistemon per la aldono de novaj aksiomoj aŭ nova lingvaj konstruoj.

Enhavo 1 Difino 2 Teoremoj de modela teorio 3 Vidu ankaŭ jenon: 4 Referencoj

[redaktu] Difino

modelo, aŭ strukturo, estas formale difinita en la ĉirkaŭteksto de iu lingvo L, kiu konsistas el aro de konstanto-simboloj, aro de rilato-simboloj ĉiu de valento iu pozitiva entjero, kaj aro de funkcio-simboloj ĉiu de valento iu pozitiva entjero. A modelo de la lingvo L konsistas de kelkaj aĵoj:

1. A universa aro A kiu enhavas ĉiujn objektojn interesajn (la "domajno de (diskurso, traktato)"), kaj
2. An ero de A por ĉiu konstanta simbolo de L.
3. A funkcio de Aⁿ al A por ĉiu funkcia simbolo de L de valento n.
4. An n-_ary_ rilato sur A (en aliaj vortoj subaro de Aⁿ) por ĉiu predikato (aŭ rilato) de L de valento n.

La "valento" de funkcioj aŭ rilatoj iam ankaŭ signifas la loknombron (malderivaĵo de la termoj "unuloka," "duuma," "triargumenta," aŭ "n-_ary_").

teorio estas difinita kiel aro de propozicioj en la lingvo L, kaj estas nomita fermita teorio se la aro de propozicioj estas fermitaj sub la kutimaj reguloj de konkludo. Ekzemple, la aro de ĉiuj propozicioj veraj en iu aparta modelo (e.g. la reelaj nombroj) estas fermita teorio. Modelo de la teorio T konsistas el modelo super la lingvo L en kiu ĉiuj propozicioj de la teorio T estas veraj, normale difinitaj per T-skemoj.

Ekzemple, la lingvo de partaj ordoj havas nur unu duargumentan rilaton ≥. Do, modelo de la lingvo de partaj ordoj estas nur aro kun duargumenta rilato signifita de ≥, kaj ĝi estas modelo de la teorio de partaj ordoj se aldone ĝi (verigas, kontentigas) la aksiomojn de parta ordo.

[redaktu] Teoremoj de modela teorio

Pleneca teoremo de Gödel (ne konfuzinda kun lia nekompleteco-teoremoj) diras, ke teorio havas modelon se kaj nur se ĝi estas konsekvenca; kio estas ne kontraŭdiro estas pruvita per la teorio. Tio estas la koro de modela teorio kiel ĝi lasas nin respondi demandojn pri teorioj per rigardado je modeloj kaj inverse. Oni devus ne konfuzi la kompleteca teoremo kun la nocio de kompleteco-teorio. Kompleteco-teorio estas teorio kiu enhavas ĉiun propozicion aŭ ĝian negon. Grave, oni povas trovi kompleta konsekvenca teorio etendanta iu ajn konsekvencan teorion. Tamen, kiel montrita per Teoremoj de nekompleteco nur en relative simplaj kazoj estos eble havi kompletan konsekvencan teorian kiu estas ankaŭ rekursia, kio estas, ke povas esti priskribita per rekursia numerigebla aro de aksiomoj. Aparte, la teorio de naturaj nombroj havas ne rekursie kompleta kaj konsekvenca teorio. Ne-rekursie teorioj estas de malgranda praktika uzo, ĉar ili estas nedecideblaj se proponita aksiomo estas ja aksiomo, farante pruvo-kontroladon praktike neebla.

La kompaktecaj teoremaj diras, ke aro de propozicioj S estas kontentiga, kio estas havas modelo, se ĉiu finia subaro de S estas kontentiga. En la ĉirkaŭteksto de pruva teorio la analoga propozicio estas bagatela, ĉar ĉiu pruvo povas havi nur finian nombron de antaŭaĵoj uzitaj en la pruvo; en la ĉirkaŭteksto de modela teorio, tamen, ĉi tiu pruvo estas iom pli malfacila. Estas du famekonataj pruvoj, unu far Gödel-a (kiu iras tra pruvoj) kaj unu far Malcev (kiu estas pli rekta kaj permesas ni limigi la kardinalon de la rezultanta modelo).

Modela teorio estas kutime koncernita kun logiko de la unua ordo, kaj multaj gravaj rezultoj (kiel la pleneco kaj kompaktecaj teoremoj) mankas en dua-ordo logiko aŭ aliaj alternativoj. En logiko de la unua orda ĉiu malfiniaj kardinaloj aspektas la sama al lingvo kiu estas numerebla. Ĉi tiu estas esprimita en la teoremoj de Löwenheim-Skolem, kiuj diras, ke iu ajn teorio kun malfinia modelo havas modelojn de ĉiu malfiniaj kardinaloj (almenaŭ tiuj de la lingvo) kiuj kongrui kun sur ĉiuj propozicioj, kiuj estas ilia '_elementarily_ ekvivalento'.

Do, aparte, aroteorio (kiu estas esprimita en numerebla lingvo) havas numereblan modelon; tio estas sciata kiel paradokso de Skolem, ĉar estas propozicioj en aroteoria kiuj postulas la ekziston de nekalkuleblaj aroj kaj ankoraŭ ĉi tiuj propozicioj estas veraj en nia numerebla modelo. Aparte la pruvo de la sendependeco de la kontinuaĵa hipotezo postulas konsideri arojn en modeloj kiuj ŝajnas nekalkuleblaj kiam viditaj de en la modelo, sed estas numerebla al iu ekster la modelo.

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

• _Axiomatizable_ klaso
• Pruva teorio
• _Hyperreals_
• Kompakteca teoremo
• Rudimenta enigo
• Saturita modelo
• Fortado (matematiko)
• Finia modela teorio
• Priskriba komplekseco
• Kripke (semantiko, semantikoj, semantikas)
• Listo de unua-ordaj teorioj

[redaktu] Referencoj

• Wilfrid Hodges, A pli mallonga modela teorio (1997) Kembriĝo (Britio) Universitato Premi ISBN 0-521-58713-1
• Wilfrid Hodges, Modela teorio (1993) Kembriĝo (Britio) Universitato Premi.
• C. C. Chang, H. J. Keisler Modela teorio (1977) ISBN 0720406927
• Davido Marker Modela Teorio: An Enkonduko (2002) Springer-Verlag, ISBN 0387987606