Vikipedio:Projekto matematiko/Morsa teorio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Morsa teorio (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

A Morsa funkcio estas ankaŭ esprimo por _anharmonic_ oscilo

En diferenciala topologio, la teknikoj de Morsa teorio doni tre direkta vojo de analizanta la topologio de (dukto (matematiko), dukto) per studantaj diferencialeblaj funkcioj sur (tiu, ke, kiu) (dukto (matematiko), dukto). Laŭ la baza _insights_ de _Marston_ Morso, diferencialebla funkcio sur (dukto (matematiko), dukto) estos, en tipa (kesto, okazo), reflekti la topologio sufiĉe rekte. Morsa teorio permesas unu al trovi _CW_ (strukturoj, strukturas) kaj ansaj malkomponaĵoj sur (duktoj, duktas) kaj al ricevi substanca informo pri ilia homologeco. Antaŭ Morso, _Arthur_ _Cayley_ kaj James Clerk Maxwell ellaborita iu de la (ideoj, ideas) de Morsa teorio en la ĉirkaŭteksto de topografio. Morso originale aplikis lia teorio al geodezio (kritikaj punktoj de la energio (funkcionalo, funkcia) sur vojoj). Ĉi tiuj teknikoj estis uzita en _Raoul_ _Bott_'s pruvo de lia festis periodeca teoremo.

Enhavo 1 Baza (konceptoj, konceptas) 2 Formala evoluo 2.1 La Morsaj neegalaĵoj 2.2 Morsa homologeco 2.3 Morso-_Bott_ Teorio 3 Plui leganta

[redaktu] Baza (konceptoj, konceptas)

Konsideri, por (celoj, celas) de ilustraĵo, montriĉa pejzaĝo M. Se f estas la funkcio M → R sendanta ĉiu punkto al ĝia _elevation_, tiam la inversa bildo de punkto en R (nivela aro) estas simple kontura linio. Ĉiu koneksa komponanto de kontura linio estas ĉu punkto, simpla (fermita, fermis) kurbo, aŭ (fermita, fermis) kurbo kun duopa punkto. Konturaj linioj (majo, povas) ankaŭ havi punktoj de pli alta (mendi, ordo) (triopaj punktoj, kaj tiel plu), sed ĉi tiuj estas labila kaj (majo, povas) esti forprenita per _slight_ malformigado de la pejzaĝo. Duopaj punktoj en konturaj linioj okazi je (selo, seli) punktoj, aŭ pasejoj. (Selo, Seli) punktoj estas punktoj kie la ĉirkaŭbarantaj pejzaĝaj kurboj supren en unu direkto kaj suben en la alia.

Imagi (inundanta, superakvanta, superakveganta) ĉi tiu pejzaĝo kun akvo. Tiam, alprenanta la tero estas _porous_, la regiono kovris per akvo kiam la akvaj atingopovoj _elevation_ de a estas f⁻¹ (-∞, a], aŭ la punktoj kun _elevation_ malpli ol aŭ egala al a. Konsideri kiel la topologio de ĉi tiu regiono ŝanĝas kiel la akvo (altiĝas, pligrandiĝoj, pligrandiĝas). Ĝi (aperas, ŝajnas, aspektas), intuicie, (tiu, ke, kiu) ĝi ne ŝanĝi escepti kiam a pasejoj la alto de kritika punkto ; tio estas, punkto kie la gradiento de f estas 0. En alia (vortoj, vortas), ĝi ne ŝanĝi escepti kiam la akvo ĉu (1) startas enspacanta baseno, (2) kovras (selo, seli) (intermonto), aŭ (3) (banas, subakvigas) (akraĵo, kulmino).

Al ĉiu de ĉi tiuj tri (klavas, tipoj) de kritikaj punktoj - (akvujoj, akvujas, pelvoj, pelvas, basenoj, basenas), pasejoj, kaj (akraĵoj, akraĵas, kulminoj, kulminas) (ankaŭ (nomita, vokis) minimumoj, (seloj, selas), kaj _maxima_) - unu (asociitoj, asociitas, asocianoj, asocianas, kompanianoj, kompanianas) nombro (nomita, vokis) la indekso. Intuicie parolanta, la indekso de kritika punkto b estas la nombro de sendependa (direktoj, instrukcio) ĉirkaŭ b en kiu f malgrandiĝas. Pro tio, la indeksoj de (akvujoj, akvujas, pelvoj, pelvas, basenoj, basenas), pasejoj, kaj (akraĵoj, akraĵas, kulminoj, kulminas) estas 0, 1, kaj 2, respektive.

Difini M^a kiel f⁻¹(-∞, a]. Lasanta la ĉirkaŭteksto de topografio, unu povas fari simila analitiko de kiel la topologio de M^a ŝanĝas kiel a (multigas, pligrandiĝoj, pligrandiĝas) kiam M estas toro orientis kiel en la bildo kaj f estas projekcio sur vertikala akso, prenante punkto al ĝia alto pli supre la ebeno.

Kiam a estas malpli ol 0, M^a estas la malplena aro. Post a pasejoj la nivelo de p (kritika punkto de indekso 0), kiam 0<a<f(q), tiam M^a estas disko, kiu estas homotopeca ekvivalento al punkto, (0-ĉelo) kiu havas estas "alfiksita" al la malplena aro. Venonta, kiam a superas la nivelo de q (kritika punkto de indekso 1), kaj f(q) <a<f(r), tiam M^a estas cilindro, kaj estas homotopeca ekvivalento al disko kun 1-ĉelo alfiksis (bildo je (maldekstre, restis)). Iam a pasejoj la nivelo de r (kritika punkto de indekso 1), kaj f(r)<a<f(s), tiam M^a estas toro kun disko forprenis, kiu estas homotopeca ekvivalento al cilindro kun unu ĉelo alfiksis (bildo je (ĝusta, dekstra, rajto)). Fine, kiam a estas pli granda (tiu, ke, kiu) la kritika nivelo de s (kritika punkto de indekso 2) M^a estas toro. Toro, kompreneble, estas la sama kiel toro kun disko forprenis kun disko (2 ĉelo) alfiksis.

Ni pro tio aperi al havi jena regulo: la topologio de M^α ne ŝanĝi escepti kiam α pasejoj la alto de kritika punkto, kaj kiam α pasejoj la alto de kritika punkto de indekso γ, γ-ĉelo estas alfiksita al M^α. Ĉi tiu ne adreso la demando de kio okazas kiam du kritikaj punktoj estas je la sama alto. (Tiu, Ke, Kiu) situacio povas esti malkomponita per _slight_ perturbo de f. Ĉe pejzaĝo (aŭ (dukto (matematiko), dukto) enigita en Eŭklida spaco), ĉi tiu perturbo povus simple esti klinanta la pejzaĝo malmulte, aŭ turnanta la koordinatsistemo.

Ĉi tiu regulo, tamen, estas malvera kiel komencita. Al vidi ĉi tiu, estu M egala R kaj estu f(x)=x³. Tiam 0 estas kritika punkto de f, sed la topologio de M^α ne ŝanĝi kiam α pasejoj 0. Fakte, la koncepto de indekso ne fari (senso, senco). La problemo estas (tiu, ke, kiu) la (sekundo, dua) derivaĵo estas ankaŭ 0 je 0. Ĉi tiu speco de situacio estas (nomita, vokis) degeneri kritika punkto. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu situacio estas labila: per turnanta la koordinatsistemo sub la (grafikaĵo, grafeo), la degeneri kritika punkto ĉu estas forprenita aŭ rompas supren enen du ne-degeneri kritikaj punktoj.

[redaktu] Formala evoluo

Ni estas (interezita, interesita) en glataj funkcioj f de diferencialebla dukto M al la reelaj nombroj. La punktoj kie la gradiento de f en loka koordinatsistemo estas 0 estas (nomita, vokis) kritikaj punktoj kaj iliaj bildoj sub f estas (nomita, vokis) kritikaj valoroj. Se je kritika punkto b la matrico de (sekundo, dua) _partials_ (la Matrico de Hessian) estas nesingularo, tiam b estas (nomita, vokis) ne-degeneri kritika punkto; se la Hessian-a estas singularo tiam b estas degeneri kritika punkto. Se f estas la mapo

R → R

difinita per

f(x)=x³,

tiam 0 estas degeneri kritika punkto. Malpli bagatela ekzemplo de degeneri kritika punkto estas la fonto de la simio (selo, seli).

Ni difini la indekso de ne-degeneri kritika punkto b de f al esti la dimensio de la plej granda subspaco de la tangenta spaco al M je b sur kiu la Hessian-a estas negativa definitiva. Ĝi estas facila al vidi (tiu, ke, kiu) ĉi tiu korespondas al la intuicia nocio (tiu, ke, kiu) la indekso estas la nombro de (direktoj, instrukcio) en kiu f malgrandiĝas. Jena lemo tiam diras (tiu, ke, kiu) la indekso de kritika punkto de f donas plenumi priskribo de la loka konduto de f je (tiu, ke, kiu) punkto.

(Morsa lemo). Estu b esti ne-degeneri kritika punkto de f. Tiam tie ekzistas abako (x¹, x², ..., xⁿ) en najbaraĵo U de b tia (tiu, ke, kiu) x^mi(b)=0 por ĉiuj mi kaj

f=f(b)−(x¹)²− ... −(x^α)²+(x^α+1)²+ ... +(xⁿ)² (rekte tra, entute) U kaj α estas egala al la indekso de f je b.

Kiel korolario de la Morsa lemo ni vidi (tiu, ke, kiu) ne-degeneri kritikaj punktoj estas izolita.

Ni povas nun difini akurate la speco de funkcioj en kiu ni estas (interezita, interesita). Glata (reala, reela) valora funkcio sur (dukto (matematiko), dukto) M estas Morsa funkcio se ĝi havas ne degeneri kritikaj punktoj. Baza rezulto de Morsa teorio diras (tiu, ke, kiu) tie ekzistas Morsa funkcio sur (ĉiu, iu) (dukto (matematiko), dukto) M. Fakte la Morsaj funkcioj (formo, formi) (malfermi, malfermita), densa subaro de ĉiuj glataj funkcioj M→R en la C² topologio. Ĉi tiu estas iam esprimita kiel "tipa funkcio estas Morso."

Kiel indikis antaŭ, ni estas (interezita, interesita) en la demando de kiam la topologio de M^α ŝanĝas kiel α (varias, ŝanĝiĝas). Duono de la esti konforma al ĉi tiu demando estas donita per jena teoremo.

Teoremo. Supozi f estas glata (reala, reela) valora funkcio sur M, a<b, f⁻¹[a, b] estas kompakta, kaj estas ne kritikaj valoroj inter a kaj b. Tiam M^a estas _diffeomorphic_ al M^b, kaj M^b malformigado _retracts_ sur M^a.

Ĝi estas ankaŭ de (interezo, interesi) al scii la topologio de M^α ŝanĝas kiam α paseja kritika punkto. Jena teoremo (respondoj, respondas) (tiu, ke, kiu) demando.

Teoremo. Supozi f estas glata (reala, reela) valora funkcio sur M kaj p estas ne-degeneri kritika punkto de f de indekso γ, kaj (tiu, ke, kiu) f(p)=q. Supozi f⁻¹[q-ε, q+ε] estas kompakta kaj enhavas ne kritikaj punktoj ekster p. Tiam por ε sufiĉe malgranda M^q+ε estas homotopeca ekvivalento al M^q-ε kun γ ĉelo alfiksis.

Ĉi tiuj rezultoj ĝeneraligi kaj formaligi la 'regulo' komencita en la antaŭa sekcio. Kiel estis menciita, la regulo kiel komencita estas malĝusta; ĉi tiuj (teoremoj, teoremas) (ĝusta, ĝustigi, korekti) ĝi.

Uzanta la du antaŭaj rezultoj kaj la fakto (tiu, ke, kiu) tie ekzistas Morsa funkcio sur (ĉiu, iu) diferencialebla dukto, unu povas pruvi (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) diferencialebla dukto estas CW komplekso kun n-ĉelo por ĉiu kritika punkto de indekso n. Al fari ĉi tiu, unu (bezonas, bezonoj) la teknika fakto tiu povas aranĝi al havi sola kritika punkto sur ĉiu kritika nivelo.

[redaktu] La Morsaj neegalaĵoj

Morsa teorio povas kutimi pruvi iuj fortaj rezultoj sur la homologeco de (duktoj, duktas). La nombro de kritikaj punktoj de indekso γ de

f: M → R

estas egala al la nombro de γ ĉeloj en la _CW_ strukturo sur M ricevis de "(grimpado, grimpanta)" f. Uzanta la fakto (tiu, ke, kiu) la alterna (sumo, sumi) de la (rangoj, rangas) de la homologecaj grupoj de topologia spaco estas egala al la alterna (sumo, sumi) de la (rangoj, rangas) de la ĉeno (grupoj, grupas) de kiu la homologeco estas komputita, tiam per uzanta la ĉela ĉeno (grupoj, grupas) (vidi ĉela homologeco) ĝi estas klara (tiu, ke, kiu) la Eŭlera karakterizo estas egala al la (sumo, sumi)

∑ (-1)^γC^γ,

kie C^γ estas la nombro de kritikaj punktoj de indekso γ. Ankaŭ per ĉela homologeco, la rango de la n^{(th, -a)} homologeca grupo de CW komplekso M estas malpli ol aŭ egala al la nombro de n-ĉeloj en M. Pro tio la rango de la γ^{(th, -a)} homologeca grupo estas malpli ol aŭ egala al la nombro de kritikaj punktoj de indekso γ de Morsa funkcio sur M. Ĉi tiuj (faktoj, faktas) povas esti fortikigita al ricevi la Morsaj neegalaĵoj:

[redaktu] Morsa homologeco

Morsa homologeco estas aparte _perspicuous_ (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) al la homologeco de glata (duktoj, duktas). Ĝi estas difinita uzanta ĝenerala elekto de Morsa funkcio kaj Rimana metriko. La baza teoremo estas (tiu, ke, kiu) la rezultanta homologeco estas invarianto de la (dukto (matematiko), dukto) (kio estas sendependa de la funkcio kaj metriko) kaj izomorfia al la singulara homologeco de la (dukto (matematiko), dukto); ĉi tiu (implicas, enhavas) (tiu, ke, kiu) la Morso kaj singularo _Betti_ nombroj (kongrui, konsenti) kaj donas senpera pruvo de la Morsaj neegalaĵoj. Malfinio dimensia analoga de Morsa homologeco estas sciata kiel _Floer_ homologeco.

_Ed_ _Witten_ ellaborita alia rilatanta (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) al Morsa teorio en 1982 uzantaj harmonaj funkcioj.

[redaktu] Morso-_Bott_ Teorio

La nocio de Morsa funkcio povas esti ĝeneraligita al konsideri funkcioj (tiu, ke, kiu) havi degeneri kritika (duktoj, duktas); Morsa funkcio estas la speciala okazo kie la kritika (duktoj, duktas) estas nulo-dimensia. La indekso estas plej (naive, krude, nature) penso de kiel paro

(mi₋, mi₊),

kie mi₋ estas la dimensio de la labila (dukto (matematiko), dukto) je donita punkto de la kritika (dukto (matematiko), dukto), kaj mi₊ estas mi₋ plus la dimensio de la kritika (dukto (matematiko), dukto).

Morso-_Bott_ funkcioj estas utila ĉar ĝeneralaj Morsaj funkcioj estas malfacila al laboro kun; la funkcioj unu povas bildigi, kaj kun kiu povas facile kalkuli, tipe havi simetrioj. Ili ofte (plumbo, konduki) al pozitiva-dimensia kritika (duktoj, duktas). _Raoul_ _Bott_ uzita Morso-_Bott_ teorio en lia originala pruvo de la _Bott_ periodeca teoremo.

Morsa homologeco povas ankaŭ esti formulita por Morso-_Bott_ funkcioj; la diferencialo en Morso-_Bott_ homologeco estas komputita per spektra vico. _Frederic_ Burĝo ellaborita neta (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) en la kurso de lia laboro sur Morso-_Bott_ versio de _symplectic_ kampa teorio.

[redaktu] Plui leganta

• _Milnor_, Johano (1963). Morsa Teorio
• Macumoto, _Yukio_ (2002). Enkonduko al Morsa Teorio
• Morso, _Marston_ (1934). La Kalkulo de Variadoj en la Granda
• _Seifert_, _Herbert_ & _Threlfall_, Vilhelmo (1938). _Variationsrechnung_ _im_ _Grossen_
• _Bott_, _Raul_ (1988) Morsa Teorio _Indomitable_. (Eldonoj, Eldonas) _Mathématiques_ _de_ l'_IHÉS_. 68, 99-114.
• _Milnor_, Johano (1965). (Prelegoj, Prelegas) sur la h-_Cobordism_ teoremo - (skanadoj, skanadas, skanas, skandas) havebla ĉi tie
• Maxwell-a, Marmeladoj (Kontoristo, Aktisto, Komizo) (1870). Sur (Montetoj, Montetas) kaj _Dales_. La Filozofia Revuo 40 (269), 421-427.
• _Cayley_, _Arthur_ (1859). Sur Konturo kaj Inklina Linio. La Filozofia Revuo 18 (120), 264-268.