Vikipedio:Projekto matematiko/Neŭtona maniero

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Neŭtona maniero
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En cifereca analitiko, Neŭtona maniero (aŭ la Neŭtono-_Raphson_ maniero) estas kompetenta algoritmo por trovantaj proksimumaj kalkuladoj al la nuloj (aŭ (radikoj, radikas)) de (reala, reela)-valora funkcio. Kiel tia, ĝi estas ekzemplo de radiko-trovanta algoritmo. Ĝi povas ankaŭ kutimi trovi minimumo aŭ maksimumo de tia funkcio, per trovanta nulo en la funkcia unua derivaĵo, vidi Neŭtona maniero kiel optimumiga algoritmo.

Enhavo

1 Priskribo de la maniero
2 Ekzemplo
3 Historio
4 Praktikaj konsideroj
5 Analitiko
6 (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)
- 6.1 Kompleksaj funkcioj
7 Referencoj
8 Ekstera (ligoj, ligas)
9 Vidu ankaŭ jenon:

[redaktu] Priskribo de la maniero

La ideo de la maniero estas kiel sekvas: unu startas kun valoro kiu estas laŭkaŭze proksime al la vera nulo, tiam (anstataŭas, anstataŭigas) la funkcio per ĝia tangento (kiu povas esti komputita uzanta la (iloj, ilas) de kalkulo) kaj komputas la nulo de ĉi tiu tangento (kiu estas facile farita kun rudimenta algebro). Ĉi tiu nulo de la tangento estos tipe esti pli bona proksimuma kalkulado al la funkcia nulo, kaj la maniero povas esti ripetita.

Supozi f : [a, b] <_tt_>-></_tt_> R estas diferencialebla funkcio difinis sur la intervalo [a, b] kun (valoroj, valoras) en la reelaj nombroj R. Ni starti kun ajna valoro x₀ (la pli proksima al la nulo la pli bona) kaj tiam difini por ĉiu natura nombro n:

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$

Ĉi tie, f ' signifas la derivaĵo de la funkcio f.

Neŭtona maniero estos kutime konverĝi provizita la komenca (konjekto, konjekti, diveni) estas fermi sufiĉa al la nekonata nulo. Plue, por nulo de obleco 1, la konverĝo estas kvadrata, kiu intuicie (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) la nombro de (ĝusta, ĝustigi, korekti) (ciferoj, ciferas) malglate duobligas en ĉiu (ŝtupo, paŝi). Pli (detaloj, detalas) povas troviĝi en la "Analitiko" sekcio.

Ilustraĵo de Neŭtona maniero. Ni vidi (tiu, ke, kiu) $x n + 1$ estas pli bona (konjekto, konjekti, diveni) ol $x n$ por la nulo x_* de la funkcio f.

[redaktu] Ekzemplo

Konsideri la problemo de trovanta la pozitiva nombro x kun cos(x) = x³. Ni povas _rephrase_ (tiu, ke, kiu) kiel trovanta la nulo de f(x) = cos(x) - x³. Ni havi f '(x) = -(peko, peki)(x) - 3x². Ekde cos(x) ≤ 1 por ĉiuj x kaj x³ > 1 por x>1, ni scii (tiu, ke, kiu) nia nulo (mensogoj, mensogas, kuŝas) inter 0 kaj 1. Ni provi startanta valoro de x₀ = 0.5.

$\begin{matrix} x_1 & = & x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} & = & 0.5 - \frac{\cos(0.5) - 0.5^3}{-\sin(0.5) - 3 \times 0.5^2} & = & 1.112141637097 \\ x_2 & = & x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} & & \vdots & = & \underline{0}.909672693736 \\ x_3 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0.86}7263818209 \\ x_4 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0.86547}7135298 \\ x_5 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0.8654740331}11 \\ x_6 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0.865474033102} \end{matrix}$

La (ĝusta, ĝustigi, korekti) (ciferoj, ciferas) estas substrekita en la pli supre ekzemplo. En aparta, ĉiuj (ciferoj, ciferas) de x₆ estas (ĝusta, ĝustigi, korekti). Ni vidi (tiu, ke, kiu) la nombro de (ĝusta, ĝustigi, korekti) (ciferoj, ciferas) post la dekuma punkto (multigas, pligrandiĝoj, pligrandiĝas) de 2 (por x₃) al 5 kaj 10, ilustranta la kvadrata konverĝo.

Konsideri jena ekzemplo en _pseudocode_.

funkcio _newtonIterationFunction_(x) {
redoni x - (cos(x) - x^3) / (-(peko, peki)(x) - 3*x^2)
}

_var_ x := 0.5

por mi de 0 al 99 {
printi "Ripeto: " + mi
printi "(Konjekto, Konjekti, Diveni): " + x
_xold_ := x
x := _newtonIterationFunction_(x)
se x = _xold_ {
printi "Solvaĵo fundamenti!"
rompi
}
}

Jen la sama uzanta kalkulilo.

$\begin{matrix} \mbox{What to type} & & & \\ 0.5\;\mbox{(enter)} & = & x_0 & = & 0.5 \\ Ans - \frac{\cos (Ans) - Ans^3}{-\sin (Ans) - 3 * Ans^2}\;\mbox{(enter)} & = & x_1 & = & 1.1121416371 \\ \mbox{(enter)} & = & x_2 & = & 0.909672693736 \\ \mbox{(enter)} & = & x_3 & = & 0.867263818209 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \end{matrix}$

[redaktu] Historio

Neŭtona maniero estis priskribita per Isaac Newton en _De_ _analysi_ por _aequationes_ _numero_ _terminorum_ _infinitas_ (skribita en 1669, (publikigita, publikigis) en 1711 per Vilhelmo _Jones_) kaj en _De_ _metodis_ _fluxionum_ _et_ _serierum_ _infinitarum_ (skribita en 1671, tradukita kaj (publikigita, publikigis) kiel Maniero de _Fluxions_ en 1736 per Johano _Colson_). Tamen, lia priskribo diferencas substance de la moderna priskribo donita pli supre: Neŭtono aplikas la maniero nur al (polinomoj, polinomas). Li ne komputi la sukcesaj proksimumaj kalkuladoj x_n, sed komputas vico de (polinomoj, polinomas) kaj nur je la fino, li alvenas je proksimuma kalkulado por la radiko x. Fine, Neŭtonaj vidoj la maniero kiel pure algebra kaj mankas al (rimarki, avizo) la ligo kun kalkulo. Isaac Newton (kredeble, verŝajne) derivis lia maniero de simila sed malpli preciza maniero per _François_ _Viète_. La (medolo, esenco) de _Viète_'s maniero povas troviĝi en la laboro de la Persa matematikisto _Sharaf_ _al_-Bruego _al_-_Tusi_.

Ardeo de Aleksandrio uzita esence la sama maniero en libro 1, ĉapitro 8, de lia _Metrica_ al difini la kvadrata radiko de 720.

Neŭtona maniero estis unua (publikigita, publikigis) en 1685 en A Traktato de Algebro ambaŭ Historia kaj Praktika per Johano _Wallis_. En 1690, Jozefo _Raphson_ (publikigita, publikigis) (simpligita, plisimpligita) priskribo en Analitiko _aequationum_ _universalis_. _Raphson_ denove vidita Neŭtona maniero pure kiel algebra maniero kaj limigis ĝia uzi al (polinomoj, polinomas), sed li priskribas la maniero en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la sukcesaj proksimumaj kalkuladoj x_n anstataŭ la pli komplika vico de (polinomoj, polinomas) uzita per Neŭtono. Fine, en 1740, Tomaso Simpson-a priskribis Neŭtona maniero kiel ripeta maniero por solvantaj ĝeneralaj nelinearaj ekvacioj uzanta _fluxional_ kalkulo, esence donanta la priskribo pli supre. En la sama eldono, Simpson-a ankaŭ donas la ĝeneraligo al sistemoj de du ekvacioj kaj (tononomoj, notoj, notas) (tiu, ke, kiu) Neŭtona maniero povas esti uzita por solvanta optimumigo (problemoj, problemas) per opcio la gradiento al nulo.

[redaktu] Praktikaj konsideroj

En ĝenerala la konverĝo estas kvadrata: la eraro estas esence (kvadratita, placita, kvadratigita) je ĉiu (ŝtupo, paŝi) (tio estas, la nombro de preciza (ciferoj, ciferas) duobligas en ĉiu (ŝtupo, paŝi)). Estas iu _caveats_, tamen. Unua, Neŭtona maniero postulas (tiu, ke, kiu) la derivaĵo esti kalkulita rekte. Se anstataŭe la derivaĵo estas aproksimita per la inklino de la linio tra du punktoj sur la funkcia (grafikaĵo, grafeo), la (sekcanto, sekanto) manieraj rezultoj — kvankam dependanta sur kiel unu (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj) komputa peno, la (sekcanto, sekanto) maniero (majo, povas) esti pli kompetenta. (Sekundo, Dua), se la startanta valoro estas ankaŭ malproksime forprenis de la vera nulo, Neŭtona maniero povas manki al konverĝi ajn. Pro ĉi tiu, ĉiuj praktika (realigoj, realigas) de Neŭtona maniero meti limesosupremo sur la nombro de (ripetoj, ripetas) kaj eble sur la amplekso de la ripetas. Tria, se la radiko estante _sought_ havas obleco pli granda ol unu, la konverĝa kurzo estas reduktita al lineara (eraroj reduktis per konstanta faktoro je ĉiu (ŝtupo, paŝi)) se ne speciala (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas) estas prenita.

[redaktu] Analitiko

Supozi (tiu, ke, kiu) la funkcio f havas nulo je α, kio estas, f(α) = 0.

Se f estas kontinue diferencialebla kaj ĝia derivaĵo ne nuliĝi je α, tiam tie ekzistas najbaraĵo de α tia (tiu, ke, kiu) por ĉiuj startanta (valoroj, valoras) x₀ en (tiu, ke, kiu) najbaraĵo, la vico {x_n} estos konverĝi _quadratically_ al α.

Se la derivaĵo faras nuliĝi je α, tiam la konverĝo estas kutime nur lineara. Aparte, se f estas dufoje kontinue diferencialebla, f'(α) = 0, kaj f''(α) ≠ 0, tiam tie ekzistas najbaraĵo de α tia (tiu, ke, kiu) por ĉiuj startanta (valoroj, valoras) x₀ en (tiu, ke, kiu) najbaraĵo, la vico de ripetas konverĝas (lineare, linie, tutece), kun kurza logo₁₀ 2 (_Süli_ & _Mayers_, Ekzerci 1.6). Tamen, (ebena, para, eĉ) lineara konverĝo estas ne garantiita en malnormala (situacioj, situacias).

[redaktu] (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)

(Akvujoj, Akvujas, Pelvoj, Pelvas, Basenoj, Basenas) de allogaĵo por x⁵ − 1 = 0; pli malhela (meznombroj, meznombras, signifas) pli (ripetoj, ripetas) al konverĝi.

Unu (majo, povas) uzi Neŭtona maniero ankaŭ al solvi sistemoj de k (ne-lineara) ekvacioj, kiuj kvantoj al trovanta la nuloj de kontinue diferencialeblaj funkcioj F : R^k <_tt_>-></_tt_> R^k. En la formulaĵo donita pli supre, unu tiam havas al multipliki kun la inverso de la k-per-k Jakobia matrico J_F(x_n) anstataŭ dividanta per f '(x_n). Iom ol reale komputanta la inverso de ĉi tiu matrico, unu povas savi tempo per solvanta la sistemo de linearaj ekvacioj

J F (x n)(x n + 1 - x n) = - F (x n)

por la nekonato x_n+1 - x_n. Denove, ĉi tiu maniero nur (laboroj, laboras) se la komenca valoro x₀ estas fermi sufiĉa al la vera nulo. Tipe, regiono kiu estas bone-kondutita estas situita unua kun iu alia maniero kaj Neŭtona maniero estas tiam kutima "poluri" radiko kiu estas jam sciata proksimume.

[redaktu] Kompleksaj funkcioj

Kiam kontraktanta kun kompleksaj funkcioj, tamen, Neŭtona maniero povas esti rekte aplikita al trovi iliaj nuloj. Por multaj kompleksaj funkcioj, la rando de la aro (ankaŭ scii kiel la baseno de allogaĵo) de ĉiuj startanta (valoroj, valoras) (tiu, ke, kiu) kaŭzo la maniero al konverĝi al la vera nulo estas fraktalo.

[redaktu] Referencoj

_Tjalling_ J. _Ypma_, Historia evoluo de la Neŭtono-_Raphson_ maniero, _SIAM_ (Revuo, Recenzi) 37 (4), 531–551, 1995.
P. _Deuflhard_, Neŭtonaj Manieroj por Nelineara (Problemoj, Problemas). Afina Invarianto kaj Adapta (Algoritmoj, Algoritmas). _Springer_ Serio en Komputa Matematiko, (Volumeno, Volumo). 35. _Springer_, Berlino, 2004. ISBN 3-540-21099-7.
C. T. _Kelley_, Solvantaj Nelinearaj Ekvacioj kun Neŭtona Maniero, ne 1 en _Fundamentals_ de (Algoritmoj, Algoritmas), _SIAM_, 2003. ISBN 0-89871-546-6.
J. Sinjoro _Ortega_, W. C. _Rheinboldt_, Ripeta Solvaĵo de Nelinearaj Ekvacioj en Kelkaj (Variabloj, Variablas). (Klasikaĵoj, Klasikaĵas) en Aplikis Matematiko, _SIAM_, 2000. ISBN 0-898-71461-3.
W. H. Premi, B. P. _Flannery_, S. A. _Teukolsky_, W. T. _Vetterling_, "Ciferecaj receptoj en C : La Arto de Scienca Komputanta", Kembriĝo (Britio) Universitato Premi, 1992. ISBN 0521431085. (surlinia, kun kodaj specimenoj: [1])
W. H. Premi, B. P. _Flannery_, S. A. _Teukolsky_, W. T. _Vetterling_, "Ciferecaj receptoj en Fortran (programlingvo)", Kembriĝo (Britio) Universitato Premi, 1992. ISBN _052143064X_ (surlinia, kun kodaj specimenoj: [2])
_Endre_ _Süli_ kaj Davido _Mayers_, An Enkonduko al Cifereca Analitiko, Kembriĝo (Britio) Universitato Premi, 2003. ISBN 0-521-00794-1.

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Neŭtona maniero sur la _Mathcad_ Aplika Servilo (kun (desegnita filmo, animacio))
[3] (kun (desegnita filmo, animacio))

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

Manieroj de komputado de kvadrataj radikoj

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Ne%C5%ADtona_maniero_57b2.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Komputiko | Radiko-trovantaj algoritmoj