Vikipedio:Projekto matematiko/Ne-norma analitiko

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Ne-norma analitiko
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Ne-norma analitiko estas (tiu, ke, kiu) branĉo de matematiko (tiu, ke, kiu) formulas analitika uzanta rigora nocio de infinitezimo, kie ero de ordita kampo F estas infinitezimo se kaj nur se ĝia absoluta valoro estas (pli minuskla, pli malgranda) ol (ĉiu, iu) ero de F de la (formo, formi) 1/n, por n natura nombro. Orditaj kampoj (tiu, ke, kiu) havi infinitezimaj eroj estas ankaŭ (nomita, vokis) ne-Arĥimeda. Pli ĝenerale, ne-norma analitiko estas (ĉiu, iu) (formo, formi) de matematiko (tiu, ke, kiu) fidas sur ne-normo (modeloj, modelas) kaj la tradona principo.

Ne-norma analitiko estis prezentita en la frua 1960-aj jaroj per la matematikisto Abraham Robinson-a. Robinson-a's originala (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) estis bazita sur (do, tiel)-(nomita, vokis) ne-normo (modeloj, modelas) de la kampo de reelaj nombroj. Lia klasika fundamenta libro sur la subjekto Ne-norma Analitiko estis (publikigita, publikigis) en 1966 kaj estas ankoraŭ en printi.

Kelkaj teknika (eldonas, aferoj) devas esti adresita al (riveli, ellabori) kalkulo de (infinitezimoj, infinitezimas). Ekzemple, ĝi estas ne sufiĉa al konstrui ordita kampo kun (infinitezimoj, infinitezimas). Vidi la artikolo sur _hyperreal_ nombroj por diskuto de iu de la taŭga (ideoj, ideas).

Enhavo

1 Motivado
2 (Manieroj, Proksimiĝoj) al ne-norma analitiko
3 Aplikoj
- 3.1 Aplikoj al kalkulo
4 (Kritikoj, Kritikas)
5 Logika kadro
6 Unuaj konsekvencoj
7 Vidi ankaŭ
8 Referencoj
9 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Motivado

Estas almenaŭ tri kaŭzoj al konsideri ne-norma analitiko:

[redaktu] Historia

Multa de la pla frua evoluo de la infinitezima kalkulo per Neŭtono kaj Gottfried Wilhelm Leibniz estis formulitaj uzantaj esprimoj kiel infinitezima nombro kaj nuliĝanta kvanto. Kiel (tononomis, notita) en la artikolo sur _hyperreal_ nombroj, ĉi tiuj (formulaĵoj, formulaĵas) estita larĝe kritikita per (Episkopo, Kuriero) _Berkeley_ kaj aliaj. Ĝi estis defii al (riveli, ellabori) konsekvenca teorio de analitiko uzanta (infinitezimoj, infinitezimas) kaj ĝi estas _arguable_ (tiu, ke, kiu) la unua persono al solvi ĉi tiu en kontentiga vojo estis Abraham Robinson-a, vidi referenco pli sube.

[redaktu] _Pedagogical_

Iu (aŭtoroj, aŭtoras) flegi (tiu, ke, kiu) uzi de (infinitezimoj, infinitezimas) estas pli intuicia kaj pli facile ekkaptita per studentoj ol la (do, tiel)-(nomita, vokis) "ε-delto" (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) al analitiko (konceptoj, konceptas). Vidi Hieronimo _Keisler_'s libro (fontindikis, referencita) pli sube. Ĉi tiu (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) povas iam provizi pli simplaj pruvoj de rezultoj kiu estas io teda en ε-delta formulaĵo de analitiko. Ekzemple, pruvanta la ĉena regulo por diferencialado estas pli simpla en ne-norma opcio. Multa de la plisimpligo venas de aplikanta tre facilaj reguloj de nenorma aritmetiko, _viz_:

infinitezimo × barita = infinitezimo

infinitezimo + infinitezimo = infinitezimo

kaj ankaŭ la tradona principo menciis pli sube. (Kritikistoj, Kritikoj, Kritikas) de ne-norma analitiko flegi (tiu, ke, kiu) ĉi tiuj (plisimpligoj, plisimpligas) estas (reale, reele) _illusory_ ekde ili nure masko uzi de rudimenta ε-delto (argumentoj, argumentas). Unu sveniganta _pedagogical_ apliko de ne-norma analitiko estas Eduardo _Nelson_'s kuracado de la teorio de stokastikoj, (surscenigis, enscenigita, prezentita) en lia monografio Radikale Rudimenta Probabla Teorio.

Kvankam estas ne scienca indikaĵo ĉu vojo sur la _pedagogical_ pretendi, la vido (tiu, ke, kiu) ne-norma analitiko (simpligas, plisimpligas) instruanta de kalkulo kaj estas pli simpla por studentoj al kapti (la sencon) estas ankoraŭ (minoritato, malplimulto) vido.

[redaktu] Teknika

Iu ĵusa laboro havas estas farita en analitiko uzanta (konceptoj, konceptas) de ne-norma analitiko aparte en esploranta (limigante, limiganta) procezoj de statistiko kaj matematika fiziko. La _Albeverio_ _et_-_al_ referenco pli sube diskutoj iu de ĉi tiuj aplikoj.

[redaktu] (Manieroj, Proksimiĝoj) al ne-norma analitiko

Estas du tre malsama (manieroj, proksimiĝoj) al ne-norma analitiko: la semantiko aŭ modelo-teoria (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) kaj la _syntactic_ (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo). Ambaŭ ĉi tiuj (manieroj, proksimiĝoj) turni sin al aliaj areoj de matematiko preter analitiko, inkluzivanta nombroteorio, algebro kaj topologio.

La semantiko (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) estas per malproksime la plej populara (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) al ne-norma analitiko. Robinson-a's originala formulaĵo de ne-norma analitiko falas enen ĉi tiu kategorio. Kiel ellaborita per lin en lia (paperoj, paperas), ĝi estas bazita sur studanta (modeloj, modelas) (en apartaj saturitaj modeloj) de teorio. Ekde Robinson-a's laboro unua aperita, pli simpla semantiko (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) (pro al _Zakon_) havas estas ellaborita uzanta pure aro-teoria (objektoj, objektas) (nomita, vokis) (superstrukturoj, superstrukturas). En ĉi tiu (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) modelo de teorio estas (anstataŭigita, anstataŭigis) per objekto (nomita, vokis) superstrukturo V(S) super aro S. Startanta de superstrukturo V(S) unu konstruas alia objekto *V(S) uzanta la _ultrapower_ konstruado kaj ankaŭ surĵeto V(S) → *V(S) kiu (verigas, kontentigas) la tradona principo. La mapo * (rilatas, rakontas) formalaj propraĵoj de V(S) kaj *V(S). Ankaŭ ĝi estas ebla al konsideri pli simpla (formo, formi) de saturigo (nomita, vokis) numerebla saturigo. Ĉi tiu (simpligis, plisimpligita) (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) estas ankaŭ pli taŭgi por uzi per (matematikistoj, matematikistas) ne (specialistoj, specialistas) en modela teorio aŭ logiko.

La _syntactic_ (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) postulas multa malpli logiko kaj modela teorio al kompreni kaj uzi. Ĉi tiu (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) estis ellaborita en la _mid_-1970-aj jaroj per la matematikista Eduardo _Nelson_. _Nelson_ prezentis tute aksioma formulaĵo de ne-norma analitiko (tiu, ke, kiu) li (nomita, vokis) Interne Ara Teorio aŭ _IST_. _IST_ estas vastigaĵo de _Zermelo_-_Fraenkel_ aroteorio en (tiu, ke, kiu) flanke de la baza duuma membrorilato $\isin$ , ĝi prezentas nova unuloka predikato normo kiu povas esti aplikita al eroj de la matematika universo kaj ankaŭ iu (aksiomoj, aksiomas) por (racianta, rezonanta, kaŭzanta) kun ĉi tiu nova predikato.

Malgraŭ ĝia _elegance_ kaj simpleco, _syntactic_ ne-norma analitiko postulas granda kontrakto de (zorgi, zorgo) en aplikanta la principo de ara formacio (formale sciata kiel la aksiomo de kompreno) kiu (matematikistoj, matematikistas) kutime premisi. Kiel _Nelson_ punktoj ekster komuna _fallacy_ en (racianta, rezonanta, kaŭzanta) en _IST_ estas (tiu, ke, kiu) de mallaŭregula ara formacio. Ekzemple, estas ne eki _IST_ kies eroj estas precize la normo (entjeroj, entjeras).

[redaktu] Aplikoj

Malgraŭ iu komenca esperi en la matematika komunaĵo (tiu, ke, kiu) ne-norma analitiko devus aliigi la vojo (matematikistoj, matematikistas) penso pri kaj (raciis, rezonita, kaŭzita) kun reelaj nombroj, ĉi tiu ekspekto neniam materiiĝis. Ankaŭ la listo de novaj aplikoj en matematiko estas ankoraŭ tre malgranda. Unu de ĉi tiuj rezultoj estas la teoremo pruvita per Abraham Robinson-a kaj _Allen_ Bernstein-a (tiu, ke, kiu) ĉiu polinome kompakta lineara operatoro sur Hilberta spaco havas invarianta subspaco. Sur leganta antaŭprintaĵo de la Bernstein-a-Robinson-a papero, (Paŭlo, Bono) _Halmos_ _reinterpreted_ iliaj pruvaj uzantaj normaj teknikoj. Ambaŭ (paperoj, paperas) aperita dorso-al-dorso en la sama (eldoni, eligo) de la Pacifika Ĵurnalo de Matematiko. Iu de la (ideoj, ideas) uzita en _Halmos_' pruvo _reappeared_ multaj (jaroj, jaras) poste en _Halmos_' posedi laboro sur kvazaŭ-triangula (operatoroj, operatoras).

Aliaj rezultoj estas pli laŭ la linio de _reinterpreting_ aŭ mallaŭdanta antaŭe sciataj rezultoj. De aparta (interezo, interesi) estas _Kamae_'s pruvo de la persona _ergodic_ teoremo aŭ kamioneta kaverno Sekigas kaj _Wilkie_'s kuracado de Gromova's teoremo sur (grupoj, grupas) de polinoma kresko.

Estas ankaŭ aplikoj de ne-norma analitiko al la teorio de stokastikoj, aparte konstruoj de moviĝo de Brown kiel hazardaj marŝoj. La _Albeverio_ _et_-_al_ referenco pli sube havas bonega enkonduko al ĉi tiu areo de esplori.

[redaktu] Aplikoj al kalkulo

Kiel apliko al matematika klerigado, H. Hieronimo _Keisler_ havas skribita praktika rudimenta teksto (tiu, ke, kiu) (rivelas, ellaboras) diferencialo kaj integrala kalkulo uzanta la _hyperreal_ nombroj, kiu, kiel ni havi vidita havas infinitezimaj eroj. Ĉi tiuj aplikoj de ne-norma analitiko dependi sur la ekzisto de la norma parto de (limigita, limigis) _hyperreal_ r. La norma parto de r, signifis _st_ r, estas norma reela nombro malfinie proksime al r.

La norma parto (majo, povas) ne ĉiam esti difinita. En jeno _illustrative_ (ekzemploj, ekzemplas) ni estos uzi la mapo * menciis pli supre kiu aplikas al aroj, funkcioj kaj tiel plu Ankaŭ, kiel estas kutime la (kesto, okazo), ni alpreni (tiu, ke, kiu) por reelaj nombroj r, *r estas identa al r. Ĉi tiuj ekspresoj la kondiĉo (tiu, ke, kiu) R estas (konsiderita, konsideris) al esti enigita en *R. Unu de la _expository_ (aranĝaĵoj, aranĝaĵas, disponaĵoj, disponaĵas, aparatoj, aparatas) _Keisler_ uzas estas (tiu, ke, kiu) de imaginara malfinia pova mikroskopo al (distingi, diferencigi) punktoj malfinie fermi kune.

[redaktu] (Kritikoj, Kritikas)

Malgraŭ la _elegance_ kaj apelacii de iu (aspektoj, aspektas) de ne-norma analitiko, estas granda kontrakto de _skepticism_ en la matematika komunaĵo pri ĉu ĉi tiu maŝinaro (reale, reele) adicias io (tiu, ke, kiu) ne povas (justa, ĵus) kiel facile esti (efektivigita, atingita) per normo manieroj. Unu (tononomita, notita) (kritikisto, kritiko) de ne-norma analitiko estas la Kampoj _Medalist_ _Alain_ _Connes_, kiel indikaĵis per jeno citi

La (respondo, respondi) donita per nenorma analitiko, (do, tiel)-(nomita, vokis) nenorma (reala, reela), estas egale trompanta. De ĉiu nenorma reela nombro unu povas konstrui kanone subaro de la intervalo [0, 1], kiu estas ne Lebego mezurebla. Ne tia aro povas esti eksponita (Poŭpo, 1985). Ĉi tiu (implicas, enhavas) (tiu, ke, kiu) ne sola nenorma reela nombro povas reale esti eksponita.

A. _Connes_ Nekomutebla Geometrio kaj Spaco-Tempo, Paĝo 55 en La Geometria Universo, _Huggett_ _et_ _al_. La punkto de _Connes_' kritiko estas (tiu, ke, kiu) nenorma _hyperreals_ estas kiel fikcia kiel ne-mezureblaj aroj. Ĉi tiuj aroj povas esti montrita al ekzisti, alprenanta la aksiomo de elekto de aroteorio, sed estas ne konstruebla. Ne-mezureblaj aroj estas kutime (konsiderita, konsideris) malnormala, (speco, ordigo) de _irritant_ (tiu, ke, kiu) devas esti tolerita por ke havi la aksiomo de elekto havebla.

En lia nun fama libro Ne Komuta Geometrio, _Connes_ (oferas, ofertas) alternativo (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) al (infinitezimoj, infinitezimas) bazita sur (idealoj, idealas) de kompaktaj operatoroj sur Hilberta spaco. En ĉi tiu kuracado, la _Dixmier_ spuro ludas centra rolo, sed ĝia difino estas sin dependa sur la elekto de libera _ultrafilter_ sur la naturaj nombroj, kiu estas certe _nonconstructive_.

Ĉi tiuj (kritikoj, kritikas) malgraŭ, tamen, estas absolute ne diskuto pri la matematika vereco de la (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) kaj la rezultoj de ne-norma analitiko.

[redaktu] Logika kadro

Donita (ĉiu, iu) aro S, la superstrukturo super aro S estas la aro V(S) difinis per la kondiĉoj

$V_0(\mathbf{S}) = \mathbf{S}$

$V_{n+1}(\mathbf{S}) =V_{n}(\mathbf{S}) \cup 2^{V_{n}(\mathbf{S})}$

$V(\mathbf{S}) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} V_{n}(\mathbf{S})$

Tial la superstrukturo super S estas ricevita per startanta de S kaj ripetanta la operacio de aliganta la aro de ĉiuj subaroj de S kaj prenante la unio de la rezultanta vico. La superstrukturo super la reelaj nombroj inkluzivas riĉaĵo de matematikaj strukturoj: Ekzemple, ĝi enhavas izomorfia (kopioj, kopias) de ĉiuj apartigeblaj metrikaj spacoj kaj _metrizable_ topologiaj vektoraj spacoj. Virtuale ĉiuj de matematiko (tiu, ke, kiu) (interezoj, interezas, interesas) analizisto iras sur en V(R).

La laborante vido de nenorma analitiko estas aro *R kaj surĵeto

$*: V(\mathbb{R}) \rightarrow V(*\mathbb{R})$

kiu (verigas, kontentigas) iuj aldonaj propraĵoj.

(Tradoni, Tradono) mapo. (Tononomo, Noto, Noti) V(R) kaj V(*R) estas ne reale disa.

Al formuli ĉi tiuj (principoj, principas) ni (ŝtato, stato, stati) unua iu (difinoj, difinas): Formulo havas barita kvantoro se kaj nur se la nur (kvantoroj, kvantumiloj, kvantumas) kiu okazi en la formulo havi limigo limigis super aroj, tio estas estas ĉiuj de la (formo, formi):

$\forall x \in A, \Phi(x, \alpha_1, \ldots, \alpha_n)$

$\exists x \in A, \Phi(x, \alpha_1, \ldots, \alpha_n)$

Ekzemple, la formulo

$\forall x \in A, \ \exists y \in 2^B, \ x \in y$

havas barita kvantoro, la universe kvantigis (variablo, varianta) x limigoj super A, la _existentially_ kvantigis (variablo, varianta) y limigoj de la potencaro de B. Aliflanke,

$\forall x \in A, \ \exists y, \ x \in y$

ne havi barita kvantoro ĉar la kvantoro de y estas _unrestricted_.

Aro x estas interne se kaj nur se estas ero de *A por iu ero A de V(R). *A sin estas interne se A apartenas al V(R).

Ni nun formuli la baza logika kadro de nenorma analitiko:

Vastigaĵa principo: La surĵeto * estas la idento sur R.

Tradona principo: Por (ĉiu, iu) formulo P(x₁, ..., x_n) kun barita kvantoro kaj kun liberaj variabloj x₁, ..., x_n, kaj por (ĉiu, iu) eroj A₁, ..., A_n de V(R), jena ekvivalento tenas:

$P(A_1, \ldots, A_n) \iff P(*A_1, \ldots, *A_n)$

Numerebla saturigo: Se {A_k}_k estas malkreskanta vico de nemalplena interne aroj, kun k (limigante, limiganta) super la naturaj nombroj, tiam

$\bigcap_k A_k \neq \emptyset$

Unu povas montri uzanta _ultraproducts_ (tiu, ke, kiu) tia mapo * ekzistas. Eroj de V(R) estas (nomita, vokis) normo. Eroj de *R estas (nomita, vokis) _hyperreal_ nombroj.

[redaktu] Unuaj konsekvencoj

La simbolo *N signifas la nenormaj naturaj nombroj. Per la vastigaĵa principo, ĉi tiu estas superaro de N. La aro *N − N estas nemalplena. Al vidi ĉi tiu, apliki numerebla saturigo al la vico de interne aroj

$A_k = \{k \in *\mathbb{N}: k \geq n\}$

La vico {A_k}_{k ∈ N} havas nemalplena komunaĵo, pruvanta la rezulto.

Ni komenci kun iu (difinoj, difinas): _Hyperreals_ r, s estas malfinie fermi se kaj nur se

$r \cong s \iff \forall \theta \in \mathbb{R}^+, \ | r -s| \leq \theta$

_Hyperreal_ r estas infinitezimo se kaj nur se ĝi estas malfinie proksime al 0. r estas (limigita, limigis) aŭ barita se kaj nur se ĝia absoluta valoro estas dominita per norma entjero. La barita _hyperreals_ (formo, formi) subringo de *R enhavanta la reelaj nombroj. En ĉi tiu ringo, la infinitezimo _hyperreals_ estas idealo. Ekzemple, se n estas ero de *N - N, tiam 1/n estas infinitezimo.

La aro de barita _hyperreals_ aŭ la aro de infinitezimo _hyperreals_ estas ekstera (subaroj, subaras) de V(*R); kio ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) en praktiko estas (tiu, ke, kiu) barita kvantoro, kie la baro estas interne aro, neniam limigoj super ĉi tiuj aroj.

Ekzemplo: La ebeno (x,y) kun x kaj y (limigante, limiganta) super *R estas interne, kaj estas modelo de ebena Eŭklida geometrio. La ebeno kun x kaj y limigis al barita (valoroj, valoras) (analoga al la _Dehn_ ebeno) estas ekstera, kaj en ĉi tiu barita ebeno la 5-a postulato estas atencita. Ekzemple, (ĉiu, iu) linio (trairanta, pasanta) tra la punkto (0,1) sur la y-akso kaj havanta infinitezima inklino estas paralelo al la x-akso.

Teoremo. Por (ĉiu, iu) barita _hyperreal_ r estas unika normo (reala, reela) signifis _st_ r malfinie proksime al r. La surĵeto _st_ estas ringa homomorfio de la ringo de barita _hyperreals_ al R.

La surĵeto _st_ estas ankaŭ ekstera.

Unidirekta de (opinianta, pensanta) de la norma parto de _hyperreal_, estas en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de Dedekindaj tranĉoj; (ĉiu, iu) barita _hyperreal_ s difinas tranĉi per konsideranta la paro de aroj (L,U) kie L estas la aro de normo (racionaloj, racionalas) a malpli ol s kaj U estas la aro de normo (racionaloj, racionalas) b pli granda ol s. La reela nombro (korespondanta, respektiva) al (L,U) povas vidiĝi al kontentigi la kondiĉo de estante la norma parto de s.

Unu intuicia karakterizado de kontunueco estas kiel sekvas:

Teoremo. (Reala, Reela)-valora funkcio sur la intervalo [a,b] estas kontinua se kaj nur se por ĉiu _hyperreal_ x en la intervalo *[a,b],

$[*f](x) \cong [*f](\operatorname{st}x).\,$

Simile,

Teoremo. A (reala, reela)-valora funkcio f estas diferencialebla je la (reala, reela) valoro x se kaj nur se por ĉiu infinitezimo _hyperreal_ nombro h, la valoro

$f'(x)= \operatorname{st} \left(h^{-1}([*f](x+h) - [*f](x))\right)$

ekzistas kaj estas sendependa de h. En ĉi tiu (kesto, okazo) f'(x) estas reela nombro kaj estas la derivaĵo de f je x.

[redaktu] Vidi ankaŭ

Jenaj temoj estas de centra graveco kaj estas diskutita en la (artikoloj, artikloj) pli sube.

_Overspill_
Ne-norma kalkulo
Ne-norma mezura teorio
Ne-norma funkcionala analitiko
Interne aroteorio

Jeno (artikoloj, artikloj) estas rilatanta:

_surreal_ nombro

[redaktu] Referencoj

_Sergio_ _Albeverio_, _Jans_ _Erik_ _Fenstad_, Rafaelo _Hoegh_-_Krohn_, _Tom_ _Lindstrom_:Nenormaj Manieroj en Stokasta Analitiko kaj Matematika Fiziko, Akademia Premi 1986.
P. _Halmos_, Invariantaj subspacoj por Polinome Kompakta (Operatoroj, Operatoras), Pacifika Ĵurnalo de Matematiko, 16:3 (1966) 433-437.
T. _Kamae_: A simpla pruvo de la _ergodic_ teorema uzanta nenorma analitiko, Israela Ĵurnalo de Matematiko (volumeno, volumo). 42, Nombro 4, 1982.
H. Hieronimo _Keisler_: An Infinitezimo (Maniero, Proksimiĝi, Proksimiĝo) al Stokasta Analitiko, (volumeno, volumo). 297 de _Memoirs_ de la Amerika Matematika Socio, 1984.
H. Hieronimo _Keisler_: Rudimenta Kalkulo: An (Maniero, Proksimiĝi, Proksimiĝo) Uzanta (Infinitezimoj, Infinitezimas). Unua redakcio 1976; 2-a redakcio 1986. Ĉi tiu libro estas nun el printi. La eldonejo havas _reverted_ la kopirajto al la (aŭtoro, aŭtori), kiu havas farita havebla la 2-a redakcio en .pdf aranĝo havebla por elŝutanta je http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
Eduardo _Nelson_: Interne Ara Teorio: A Nova (Maniero, Proksimiĝi, Proksimiĝo) al Nenorma Analitiko, Bulteno de la Amerika Matematika Socio, (Volumeno, Volumo). 83, Nombro 6, Novembro 1977.
Eduardo _Nelson_: Radikale Rudimenta Probabla Teorio, Universitata Princeton Premi, 1987, havebla kiel pdf je http://www.math.princeton.edu/~nelson/books/rept.pdf
Abraham Robinson-a: Ne-norma Analitiko, Universitata Princeton Premi, 1996.
_Allen_ Bernstein-a kaj Abraham Robinson-a, Solvaĵo de invarianta subspaca problemo de K. T. Forĝisto kaj P. R. _Halmos_, Pacifika Ĵurnalo de Matematiko 16:3 (1966) 421-431
L. kamioneta kaverno Sekigas kaj A. J. _Wilkie_: Gromova's Teoremo sur (Grupoj, Grupas) de Polinoma Kresko kaj Rudimenta Logiko, Ĵurnalo de Algebro, (Volumeno, Volumo) 89, 1984.

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Publika havaĵa matematiko (libroj, mendas), inkluzivanta iu pri ne-norma analitiko
Rudimenta Kalkulo: An (Maniero, Proksimiĝi, Proksimiĝo) Uzanta (Infinitezimoj, Infinitezimas) per H. Hieronimo _Keisler_ estas havebla de la (aŭtoro, aŭtori) en .pdf aranĝo.
http://www.math.kth.se/4ecm/poster.list.html
http://aux.planetmath.org/files/papers/305/PART.I._PNSA.pdf
http://_aux_._planetmath_._org_/(fajlas, kolonoj, kolonas, dosieroj, dosieras, paperujoj, paperujas, fajliloj)/(paperoj, paperas)/305/_PART_.II._PNSA_.pdf

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Ne-norma_analitiko_706b.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Modela teorio