Vikipedio:Projekto matematiko/Neegalaĵo de Markov

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Neegalaĵo de Markov
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En teorio de probabloj, Neegalaĵo de Markov donas supera baro por la probablo (tiu, ke, kiu) nenegativa funkcio de hazarda variablo estas pli granda ol aŭ egala al iu pozitiva konstanto. Ĝi estas nomita post la Rusia matematikisto _Andrey_ Markova.

Neegalaĵo de Markov (kaj aliaj similaj neegalaĵoj) (rilati, rakonti) (probabloj, probablas) al (ekspektoj, ekspektas), kaj provizi (ofte) laksa sed ankoraŭ utila (baroj, baras) por la tuteca distribua funkcio de hazarda variablo.

[redaktu] (Propozicio, Frazo, Ordono)

En la lingvo de mezura teorio, Neegalaĵo de Markov ŝtatoj (tiu, ke, kiu) se (X,Σ,μ) estas mezurhava spaco, f estas mezurebla etendis (reala, reela)-valora funkcio, kaj t > 0, tiam

$\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X f\,d\mu.$

Por la speciala okazo kie la spaco havas mezuri 1 (kio estas, ĝi estas probablospaco), ĝi povas esti _restated_ kiel sekvas: se X estas (ĉiu, iu) hazarda variablo kaj a > 0, tiam

$\textrm{Pr}(|X| \geq a) \leq \frac{\textrm{E}(|X|)}{a}.$

[redaktu] Pruvo

Por (ĉiu, iu) mezurebla aro A, estu 1_A esti ĝia nadla funkcio, tio estas, 1_A(x) = 1 se x ∈ A, kaj 0 alie. Se A_t estas difinita kiel A_t={x ∈ X| |f(x)| ≥ t}, tiam

$0\leq t\,1_{A_t}\leq |f|1_{A_t}\leq |f|.$

Pro tio

$\int_X t\,1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t}|f|\,d\mu\leq\int_X |f|\,d\mu.$

Nun, (tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) la maldekstra flanko de ĉi tiu neegalaĵo estas la sama kiel

$t\int_X 1_{A_t}\,d\mu=t\mu(A_t).$

Tial ni havi

$t\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq \int_X|f|\,d\mu,$

kaj ekde t > 0, ambaŭ flankoj povas esti (dividita, dividis) per t, ricevanta

$\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X|f|\,d\mu.$

Kio estis pruvota

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

Neegalaĵo de Markov estas uzita al pruvi Neegalaĵo de Ĉebiŝev.
Se X estas nenegativa entjera valora hazarda variablo, kiel estas ofte la (kesto, okazo) en kombinatoriko, tiam prenante a = 1 en Neegalaĵo de Markov donas (tiu, ke, kiu) $\textrm{Pr}(X \neq 0) \leq \textrm{E}(X).$ Se X estas la kardinalo de iu aro, tiam ĉi tiu (demonstras, pruvas) (tiu, ke, kiu) (tiu, ke, kiu) aro estas ne malplena. Tial unu prenas ekzistaj pruvoj.