Vikipedio:Projekto matematiko/Ordinara diferenciala ekvacio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Ordinara diferenciala ekvacio
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

_ODE_ _redirects_ ĉi tie. Por la (reala, reela)-tempa fizika motoro, vidi (malfermi, malfermita) dinamika motoro.

En matematiko, kaj aparte en analitiko, ordinara diferenciala ekvacio (aŭ _ODE_) estas rilato (tiu, ke, kiu) enhavas funkcioj de nur unu nedependa variablo, kaj unu aŭ pli de ĝiaj derivaĵoj kun respekto al (tiu, ke, kiu) (variablo, varianta). Vidi diferenciala kalkulo kaj integrala kalkulo por baza kalkula fono.

Multaj scienca (teorioj, teorias) povas esti esprimita klare kaj (lakone, koncize) en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de ordinaraj diferencialaj ekvacioj. Ekzemple, la leĝo por radioaktiva kadukiĝo de sola izotopo de ero, ŝtatoj (tiu, ke, kiu) ĝia kurzo de malprofito de (maso, amaso) estas proporcie kun ĝia (maso, amaso). Se t prezentas tempo kaj u(t) prezentas la (maso, amaso) de la izotopo je tempo t, tiam la leĝo por kadukiĝaj ŝtatoj (tiu, ke, kiu)

$\frac{du}{dt} = -\alpha u\,$

kie $α$ estas konstanto (tiu, ke, kiu) dependas sur la aparta izotopo.

Alia ekzemplo de ordinara diferenciala ekvacio estas Neŭtona (sekundo, dua) leĝo de moviĝo de sola partiklo, kiuj ŝtatoj (tiu, ke, kiu) f = _ma_, kie f estas aplikita forto, m estas la (maso, amaso) de la partiklo, kaj a estas la akcelo de la partiklo pro al la forto. Se moviĝo estas limigita al rekto, la koordinato t (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj) la tempo _elapsed_ kaj la nekonata funkcio u(t) precizigas la pozicio de la partiklo laŭ la linio, tiam la rapido de la partiklo v estas donita per la unua derivaĵo de u kun respekto al t:

$v=\frac{du}{dt}\,$ .

Simile, la akcelo de la partiklo a estas donita per la (sekundo, dua) derivaĵo de u:

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 u}{dt^2}\,$ .

Tial Neŭtona (sekundo, dua) leĝo (implicas, enhavas) la diferenciala ekvacio

$m \frac{d^2 u}{dt^2} = f(u)\,$ .

En ĝenerala, la forto dependas sur la pozicio de la partiklo, kaj tial la nekonata funkcio u (aperas, ŝajnas, aspektas) sur ambaŭ flankoj de la diferenciala ekvacio, kiel estas indikita en la skribmaniero f(u).

Grava (teoremoj, teoremas) en la kampo de _ODEs_ inkluzivi larĝa ekzisto kaj unikeco (teoremoj, teoremas) kaj por _ODEs_ en la ebeno, la _Poincaré_-_Bendixson_ teoremo.

Enhavo

1 Difino
2 Ĝenerala apliko
3 Ekzisto kaj naturo de solvaĵoj
4 (Klavas, Tipoj) de diferencialaj ekvacioj kun iu historio
5 Mensoga teorio
6 Vidu ankaŭ jenon:
7 Bibliografio
8 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Difino

Estu y prezenti nekonata funkcio de x, kaj estu

$y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}$

signifi la derivaĵoj

$\frac{dy}{dx},\ \frac{d^{2}y}{dx^2},\ \dots,\ \frac{d^{n}y}{dx^{n}}.$

ordinara diferenciala ekvacio (_ODE_) estas ekvacio engaĝante

$x,\ y,\ y',\ y'',\ \dots .$

La (mendi, ordo) de diferenciala ekvacio estas la (mendi, ordo) n de la plej alta derivaĵo (tiu, ke, kiu) (aperas, ŝajnas, aspektas). Se la plej alta derivaĵo (aperas, ŝajnas, aspektas) nur en entjero (potencoj, potencas, kardinaloj, kardinalas, povoj, povas), tiam la grado de la ekvacio estas la plej alta povo de la plej alta derivaĵo.

solvaĵo de _ODE_ estas funkcio y(x) kies derivaĵoj kontentigi la ekvacio. Tia funkcio estas ne garantiita al ekzisti kaj, se ĝi faras ekzisti, estas kutime ne unika. ĝenerala solvaĵo de n(th, -a)-(mendi, ordo) ekvacio estas solvaĵo enhavanta $n$ ajna (variabloj, variablas), (korespondanta, respektiva) al n (konstantoj, konstantas) de integralado. aparta solvaĵo estas derivita de la ĝenerala solvaĵo per opcio la (konstantoj, konstantas) al aparta (valoroj, valoras). Singulara solvaĵo estas solvaĵo (tiu, ke, kiu) povas't esti derivita de la ĝenerala solvaĵo.

Kiam diferenciala ekvacio de (mendi, ordo) n havas la (formo, formi)

$F\left(x, y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}\right) = 0$

ĝi estas (nomita, vokis) implica diferenciala ekvacio (dum, ĉar) la (formo, formi)

$F\left(x, y', y'',\ \dots,\ y^{(n-1)}\right) = y^{(n)}$

estas (nomita, vokis) eksplicita diferenciala ekvacio.

Diferenciala ekvacio ne dependanta sur x estas (nomita, vokis) aŭtonoma, kaj unu sen (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) dependanta nur sur x estas (nomita, vokis) homogena.

[redaktu] Ĝenerala apliko

Grava speciala okazo estas kiam la ekvacioj ne engaĝi $x$ . Ĉi tiuj diferencialaj ekvacioj (majo, povas) esti (prezentita, prezentis) kiel vektoraj kampoj. Ĉi tiu tipo de diferenciala ekvacio havas la propraĵo (tiu, ke, kiu) spaco povas esti (dividita, dividis) enen (ekvivalento-klasoj, ekvivalentklasoj) bazita sur ĉu du punktoj (mensogi, kuŝi) sur la sama solvaĵa kurbo. Ekde la leĝoj de fiziko estas kredita ne al ŝanĝi kun tempo, la fizika mondo estas regita per tiaj diferencialaj ekvacioj. (Vidu ankaŭ jenon: _symplectic_ topologio por abstrakta diskuto.)

En la (kesto, okazo) kie la ekvacioj estas lineara, la originala ekvacio povas esti solvita per rompanta ĝi suben enen (pli minuskla, pli malgranda) ekvacioj, solvanta tiuj, kaj tiam adicianta la rezulta dorso kune. Bedaŭrinde, multaj de la (interezanta, interesanta) diferencialaj ekvacioj estas ne-lineara, kiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) ili ne povas esti difektiĝinta en tiamaniere. Estas ankaŭ nombro de teknikoj por solvanta diferenciala ekvacia uzanta komputilo (vidi ciferecaj ordinaraj diferencialaj ekvacioj).

Ordinaraj diferencialaj ekvacioj estas al esti (distingita, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) de partaj diferencialaj ekvacioj kie $y$ estas funkcio de kelkaj (variabloj, variablas), kaj la diferenciala ekvacio engaĝas partaj derivaĵoj.

[redaktu] Ekzisto kaj naturo de solvaĵoj

La problemo de solvanta diferenciala ekvacio estas al trovi la funkcio $y$ kies derivaĵoj kontentigi la ekvacio. Ekzemple, la diferenciala ekvacio

$y'' + y = 0 \,$

havas la ĝenerala solvaĵo

$y = A \cos{x} + B \sin{x} \,$ ,

kie A, B estas (konstantoj, konstantas) difinita de randaj kondiĉoj.

En ĝenerala, nOno (mendi, ordo) ekvacio permesas ambaŭ $x$ kaj $y$ al esti (fiksita, neŝanĝebligita), kaj ankaŭ ĉiu $n - 1$ suba (mendi, ordo) derivaĵoj de $y$ ; la cetera ekvacio povas esti solvita (almenaŭ _conceptionally_) por $y (n)$ . Se la ekvacio havas finia grado $d$ , tiam ni nun havi polinoma ekvacio en $y (n)$ kun maksimume $d$ (radikoj, radikas). Pro tio tie povas esti kiel multaj kiel $d$ ebla (valoroj, valoras) por $y (n)$ je (ĉiu, iu) donita punkto kaj por (ĉiu, iu) ebla (valoroj, valoras) de la suba (mendi, ordo) derivaĵoj, kvankam tie (majo, povas) esti limigoj de ĉi tiuj punktoj kaj (valoroj, valoras) kie estas malpli solvaĵoj (aŭ neniu ajn). Lipschitz-a kondiĉo devas ankaŭ esti kontentigita por solvaĵo al ekzisti.

Tial, en la antaŭa ekzemplo, (sekundo, dua)-(mendi, ordo), unua-grada ekvacio, (ĉiu, iu) punkto sur la ebeno kaj (ĉiu, iu) inklino tra (tiu, ke, kiu) punkto povas esti (elektita, elektis) kaj cedi unika solvaĵo (ekde la sola radiko de $y''$ ekzistas por (ĉiu, iu) valoro de $y$ ). (Tononomo, Noto, Noti) en aparta (tiu, ke, kiu) estas malfinio de solvaĵoj tra (ĉiu, iu) donita punkto; ĉi tiu estas ĝenerala karakterizo de ekvacioj de (mendi, ordo) pli alta ol unu.

Iuj solvaĵoj al (y')^2+_xy_'Ejo=0. Apartaj solvaĵoj estas en blua; la singulara solvaĵo estas en verda; la hibrida solvaĵo priskribis en la teksto estas en (ruĝa, legita)

Konsideri nun

$(y')^2 + xy' - y = 0 \,$

kun ĝenerala solvaĵo

$y = Ax + A^2 \,$

Ĉi tiu estas unua-(mendi, ordo), (sekundo, dua)-grada ekvacio, tial (ĉiu, iu) punkto povas havi maksimume du solvaĵoj (trairanta, pasanta) tra ĝi, (korespondanta, respektiva) al la du (radikoj, radikas) de $y'$ en la kvadrata ekvacio (tiu, ke, kiu) devus rezulto post (fiksanta, neŝanĝebliganta) $x$ kaj $y$ . Studanta la kvadrata ekvacia diskriminanto ( $x 2 + 4 y$ ) (plumboj, plumbas, kondukas) al la konkludo (tiu, ke, kiu) nur sola solvaĵo ekzistas laŭ la parabolo $y = - \frac{1}{4} x^2$ (kie la diskriminanto estas nulo) kaj (tiu, ke, kiu) ne solvaĵo ekzistas pli sube ĉi tiu parabolo (kie ambaŭ (radikoj, radikas) estas komplekso).

La parabolo en ĉi tiu problemo estas ekzemplo de _cusp_ _locus_; kurbo laŭ kiu du aŭ pli (radikoj, radikas) de la diferenciala ekvacio estas identa. Laŭ tia _locus_ ĝi estas ebla al movi de unu ĝenerala solvaĵo al alia dum ankoraŭ obeanta la diferenciala ekvacio; tial la ekzisto de _cusp_ _loci_ prezenti la ebleco de singularo solvaĵoj. En ĉi tiu ekzemplo, la parabolo $y = - \frac{1}{4} x^2$ estas tia singulara solvaĵo; ĝi (verigas, kontentigas) la originala diferenciala ekvacio, kaj plena aro de solvaĵoj devas inkluzivi tiaj eblecoj kiel la hibrida solvaĵo:

$y = \begin{cases} x + 1, & \mbox{if } x < -2 \\ - \frac{1}{4} x^2, & \mbox{if } -2 \le x < 2 \\ -x + 1, & \mbox{if } 2 \le x \end{cases}$

kie la _cusp_ _locus_ havas estas kutima trakonekti du apartaj solvaĵoj; (tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) la unua derivaĵo (la nur derivaĵo al aperi en la diferenciala ekvacio) estas kontinua je la (trairoj, trairas).

(_Johnson_, Ĉapitro 5)

[redaktu] (Klavas, Tipoj) de diferencialaj ekvacioj kun iu historio

La influi de geometrio, fiziko, kaj astronomio, startanta kun Neŭtono kaj Gottfried Wilhelm Leibniz, kaj plui (sin manifestis, manifestiĝita, manifestita) tra la _Bernoullis_, _Riccati_, kaj _Clairaut_, sed ĉefe tra d'_Alembert_ kaj Eŭlero, havas estas tre markita, kaj aparte sur la teorio de linearaj partaj diferencialaj ekvacioj kun konstantaj koeficientoj.

[redaktu] Homogena lineara _ODEs_ kun konstantaj koeficientoj

La unua maniero de integralantaj linearaj ordinaraj diferencialaj ekvacioj kun konstantaj koeficientoj estas pro al Eŭlero, kiu komprenis (tiu, ke, kiu) solvaĵoj havi la (formo, formi) $e z x$ , por eble-komplekso (valoroj, valoras) de $z$ . Tial

$\frac {d^{n}y} {dx^{n}} + A_{1}\frac {d^{n-1}y} {dx^{n-1}} + \cdots + A_{n}y = 0$

havas la (formo, formi)

$z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0$

(do, tiel) dividanta per $e z x$ donas la n(th, -a)-(mendi, ordo) polinomo

$F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0$

Unuvorte la (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas)

$\frac {d^{k}y} {dx^{k}}\quad\quad(k = 1, 2, \cdots, n).$

de la originala diferenciala ekvacio estas (anstataŭigita, anstataŭigis) per z^k. Solvanta la polinomo donas n (valoroj, valoras) de z, $z_1, \dots,z_n$ . Ŝtopanta tiuj (valoroj, valoras) enen $e^{z_i x}$ donas bazo por la solvaĵo; (ĉiu, iu) lineara kombinaĵo de ĉi tiuj bazaj funkcioj estos kontentigi la diferenciala ekvacio.

Ĉi tiu ekvacio F(z) = 0, estas la "karakterizo" ekvacio (konsiderita, konsideris) poste per _Monge_ kaj Koŝio.

Se z estas (eble ne (reala, reela)) nulo de F(z) de obleco m kaj $k\in\{0,1,\dots,m-1\} \,$ tiam $y=x^ke^{zx} \,$ estas solvaĵo de la _ODE_. Ĉi tiuj funkcioj konsistigi bazo de la _ODE_'s solvaĵoj.

Se la A_mi estas (reala, reela) tiam (reala, reela)-valoraj solvaĵoj estas preferinda. Ekde la ne-(reala, reela) z (valoroj, valoras) estos veni en konjugita (paroj, paras), (do, tiel) estos ilia (korespondanta, respektiva) ys; anstataŭigi ĉiu paro kun ilia lineara kombinaĵa Rao(y) kaj _Im_(y).

(Kesto, Okazo) (tiu, ke, kiu) engaĝas komplekso (radikoj, radikas) povas esti solvita kun la (asisti, helpo) de Eŭlera formulo.

Ekzemplo: Donita $y''-4y'+5y=0 \,$ . La karakteriza ekvacio estas $z^2-4z+5=0 \,$ kiu havas nuloj 2+mi kaj 2−mi. Tial la solvaĵa bazo ${y 1, y 2}$ estas $\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\} \,$ . Nun y estas solvaĵo se kaj nur se $y=c_1y_1+c_2y_2 \,$ por $c_1,c_2\in\mathbb C$ .

Ĉar la koeficientoj estas (reala, reela),

ni estas verŝajna ne (interezis, interesita) en la kompleksaj solvaĵoj
niaj bazaj eroj estas reciproka konjugacias

La linearaj kombinaĵoj

$u_1=\mbox{Re}(y_1)=\frac{y_1+y_2}{2}=e^{2x}\cos(x) \,$ kaj

$u_2=\mbox{Im}(y_1)=\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{2x}\sin(x) \,$

estos doni ni (reala, reela) bazo en ${u 1, u 2}$ .

[redaktu] Lineara _ODEs_ kun konstantaj koeficientoj

Supozi anstataŭe ni (vizaĝo, edro)

$\frac {d^{n}y} {dx^{n}} + A_{1}\frac {d^{n-1}y} {dx^{n-1}} + \cdots + A_{n}y = f(x)$

Por poste _convenience_, difini la karakteriza polinomo

$P(v)=v^n+A_1v^{n-1}+\cdots+A_n$

Ni trovi la solvaĵa bazo $\{y_1,y_2,\ldots,y_n\}$ kiel en la homogena (f=0) (kesto, okazo). Ni nun (strebi, kandidati) aparta solvaĵo y_p per la variado de (parametroj, parametras) maniero. Estu la koeficientoj de la lineara kombinaĵo esti funkcioj de x:

$y_p=u_1y_1+u_2y_2+\cdots+u_ny_n$

Uzanta la "operatoro" skribmaniero $D = d / d x$ kaj larĝanima uzi de skribmaniero, la _ODE_ koncerna estas $P (D) y = f$ ; (do, tiel)

$f=P(D)y_p=P(D)(u_1y_1)+P(D)(u_2y_2)+\cdots+P(D)(u_ny_n)$

Kun la (limigoj, limigas)

$0=u'_1y_1+u'_2y_2+\cdots+u'_ny_n$

$0=u'_1y'_1+u'_2y'_2+\cdots+u'_ny'_n$

…

$0=u'_1y^{(n-2)}_1+u'_2y^{(n-2)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-2)}_n$

la (parametroj, parametras) komutiĝi ekster, kun iom "koto":

$f=u_1P(D)y_1+u_2P(D)y_2+\cdots+u_nP(D)y_n+u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n$

Sed $P (D) y j = 0$ , pro tio

$f=u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n$

Ĉi tiu, kun la (limigoj, limigas), donas lineara sistemo en la $u' j$ . Ĉi tiu multa povas ĉiam esti solvita; fakte, (kombinanta, komponanta) _Cramer_'s regulo kun la _Wronskian_,

$u'_j=(-1)^{n+j}f\frac{W(y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_n)}{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)}$

La (restaĵo, ripozi) estas (materio, afero) de integralanta $u' j$ .

La aparta solvaĵo estas ne unika; $y_p+c_1y_1+\cdots+c_ny_n$ ankaŭ (verigas, kontentigas) la _ODE_ por (ĉiu, iu) aro de (konstantoj, konstantas) c_j.

Vidu ankaŭ jenon: variado de (parametroj, parametras).

Ekzemplo: Supozi $y'' - 4 y' + 5 y = s i n (k x)$ . Ni preni la solvaĵa bazo fundamenti pli supre ${e (2 + i) x, e (2 - i) x}$ .

$W\,$	$= \begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&e^{(2-i)x} \\ (2+i)e^{(2+i)x}&(2-i)e^{(2-i)x} \end{vmatrix}$
	$=e^{4x}\begin{vmatrix}1&1\\ 2+i&2-i\end{vmatrix}$
	$=-2ie^{4x}\,$

$u'_1\,$	$=\frac{1}{W}\begin{vmatrix}0&e^{(2-i)x}\\ \sin(kx)&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}$
	$=-\frac{i}2\sin(kx)e^{(-2-i)x}$

$u'_2\,$	$=\frac{1}{W}\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&0\\ (2+i)e^{(2+i)x}&\sin(kx)\end{vmatrix}$
	$=\frac{i}{2}\sin(kx)e^{(-2+i)x}$

Uzanta la listo de integraloj de (eksponentaj funkcioj, eksponencialoj)

$u_1\,$	$=-\frac{i}{2}\int\sin(kx)e^{(-2-i)x}\,dx$
	$=\frac{ie^{(-2-i)x}}{2(3+4i+k^2)}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)$

$u_2\,$	$=\frac i2\int\sin(kx)e^{(-2+i)x}\,dx$
	$=\frac{ie^{(i-2)x}}{2(3-4i+k^2)}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right)$

Kaj (do, tiel)

$y_p\,$	$=\frac{i}{2(3+4i+k^2)}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right) +\frac{i}{2(3-4i+k^2)}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right)$
	$=\frac{(5-k^2)\sin(kx)+4k\cos(kx)}{(3+k^2)^2+16}$

((Rimarki, Avizo) (tiu, ke, kiu) u₁ kaj u₂ havis (faktoroj, faktoras) (tiu, ke, kiu) malmendis y₁ kaj y₂; tio estas tipa.)

Por intereza sakeo, ĉi tiu _ODE_ havas fizika interpretado kiel gvidita amortizis harmona oscilo; y_p prezentas la neŝanĝiĝema (ŝtato, stato, stati), kaj $c 1 y 1 + c 2 y 2$ estas la pasema.

[redaktu] Lineara _ODEs_ kun (variablo, varianta) koeficiento

[redaktu] Maniero de nedifinitaj koeficientoj

La maniero de nedifinitaj koeficientoj (_MoUC_), estas utila en trovanta solvaĵo por $y p$ . Donita la _ODE_ $P (D) y = f (x)$ , trovi alia diferenciala operatoro $A (D)$ tia (tiu, ke, kiu) $A (D) f (x) = 0$ . Ĉi tiu operatoro estas (nomita, vokis) la _annihilator_, kaj tial la maniero de nedifinitaj koeficientoj estas ankaŭ sciata kiel la _annihilator_ maniero. Aplikanta $A (D)$ ambaŭflanken de la _ODE_ donas homogena _ODE_ $\big(A(D)P(D)\big)y = 0$ por kiu ni trovi solvaĵa bazo $\{y_1,\ldots,y_n\}$ kiel antaŭ. Tiam la originala _nonhomogeneous_ _ODE_ estas uzita al konstrui (ekvaciaro, sistemo) limiganta la koeficientoj de la linearaj kombinaĵoj al kontentigi la _ODE_.

Nedifinitaj koeficientoj estas ne kiel ĝenerala kiel variado de (parametroj, parametras) en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu) _annihilator_ ne ĉiam ekzisti.

Ekzemplo: Donita $y'' - 4 y' + 5 y = sin(k x)$ , $P (D) = D 2 - 4 D + 5$ . La plej simpla _annihilator_ de $sin(k x)$ estas $A (D) = D 2 + k 2$ . La nuloj de $A (z) P (z)$ estas ${2 + i,2 - i, i k, - i k}$ , (do, tiel) la solvaĵa bazo de $A (D) P (D)$ estas ${y 1, y 2, y 3, y 4} = {e (2 + i) x, e (2 - i) x, e i k x, e - i k x}$ .

Opcio $y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y 4$ ni trovi

$sin(k x)$	$= P (D) y$
	$= P (D)(c 1 y 1 + c 2 y + c 3 y 3 + c 4 y 4)$
	$= c 1 P (D) y 1 + c 2 P (D) y 2 + c 3 P (D) y 3 + c 4 P (D) y 4$
	$= 0 + 0 + c 3 ( - k 2 - 4 i k + 5) y 3 + c 4 ( - k 2 + 4 i k + 5) y 4$
	$= c 3 ( - k 2 - 4 i k + 5)(cos(k x) + i sin(k x)) + c 4 ( - k 2 + 4 i k + 5)(cos(k x) - i sin(k x))$

donanta la sistemo

i = (k 2 + 4 i k - 5) c 3 + ( - k 2 + 4 i k + 5) c 4

0 = (k 2 + 4 i k - 5) c 3 + (k 2 - 4 i k - 5) c 4

kiu havas solvaĵoj

$c_3=\frac i{2(k^2+4ik-5)}$ , $c_4=\frac i{2(-k^2+4ik+5)}$

donanta la solvaĵa aro

$y\,$	$=c_1y_1+c_2y_2+\frac i{2(k^2+4ik-5)}y_3+\frac i{2(-k^2+4ik+5)}y_4$
	$=c_1y_1+c_2y_2+\frac{4k\cos(kx)-(k^2-5)\sin(kx)} {(k^2+4ik-5)(k^2-4ik-5)}$
	$=c_1y_1+c_2y_2 +\frac{4k\cos(kx)+(5-k^2)\sin(kx)}{k^4+6k^2+25}$

[redaktu] Maniero de variacio de parametroj

Kiel eksplikis pli supre, la ĝenerala solvaĵo al ne-homogena, lineara diferenciala ekvacio $y''(x) + p (x) y'(x) + q (x) y (x) = g (x)$ povas esti esprimita kiel la (sumo, sumi) de la ĝenerala solvaĵo $y h (x)$ al la (korespondanta, respektiva) _homogenous_, lineara diferenciala ekvacio $y''(x) + p (x) y'(x) + q (x) y (x) = 0$ kaj (ĉiu, iu) unu solvaĵo $y p (x)$ al $y''(x) + p (x) y'(x) + q (x) y (x) = g (x)$ .

Ŝati la maniero de nedifinitaj koeficientoj, priskribis pli supre, la maniero de variacio de parametroj estas maniero por trovanta unu solvaĵo al $y''(x) + p (x) y'(x) + q (x) y (x) = g (x)$ , havanta jam fundamenti la ĝenerala solvaĵo al $y''(x) + p (x) y'(x) + q (x) y (x) = 0$ . Malverŝajne la maniero de nedifinitaj koeficientoj, kiu mankas escepti kun certa specifa (formoj, formas) de g(x), la maniero de variacio de parametroj estos ĉiam laboro; tamen, ĝi estas grave pli malfacila al uzi.

Por (sekundo, dua)-(mendi, ordo) ekvacio, la maniero de variacio de parametroj (konstruas, faras) uzi de jena fakto:

[redaktu] Fakto

Estu p(x), q(x), kaj g(x) esti funkcioj, kaj estu $y 1 (x)$ kaj $y 2 (x)$ esti solvaĵoj al la homogena, lineara diferenciala ekvacio $y''(x) + p (x) y'(x) + q (x) y (x) = 0$ . Plui, estu u(x) kaj v(x) esti funkcioj tia (tiu, ke, kiu) $u'(x) y 1 (x) + v'(x) y 2 (x) = 0$ kaj $u'(x) y 1'(x) + v'(x) y 2'(x) = g (x)$ por ĉiuj x, kaj difini $y p (x) = u (x) y 1 (x) + v (x) y 2 (x)$ . Tiam $y p (x)$ estas solvaĵo al la ne-homogena, lineara diferenciala ekvacio $y''(x) + p (x) y'(x) + q (x) y (x) = g (x)$ .

[redaktu] Pruvo

$y p (x) = u (x) y 1 (x) + v (x) y 2 (x)$

$y p'(x)$	$= u'(x) y 1 (x) + u (x) y 1'(x) + v'(x) y 2 (x) + v (x) y 2'(x)$
	$= 0 + u (x) y 1'(x) + v (x) y 2'(x)$

$y p''(x)$	$= u'(x) y 1'(x) + u (x) y 1''(x) + v'(x) y 2'(x) + v (x) y 2''(x)$
	$= g (x) + u (x) y 1''(x) + v (x) y 2''(x)$

$y p''(x) + p (x) y' p (x) + q (x) y p (x) = g (x) + u (x) y 1''(x) + v (x) y 2''(x) + p (x) u (x) y 1'(x) + p (x) v (x) y 2'(x) + q (x) u (x) y 1 (x) + q (x) v (x) y 2 (x)$

$= g (x) + u (x)(y 1''(x) + p (x) y 1'(x) + q (x) y 1 (x)) + v (x)(y 2''(x) + p (x) y 2'(x) + q (x) y 2 (x)) = g (x) + 0 + 0 = g (x)$

[redaktu] Uzado

Al solvi la (sekundo, dua)-(mendi, ordo), ne-homogena, lineara diferenciala ekvacio $y''(x) + p (x) y'(x) + q (x) y (x) = g (x)$ uzanta la maniero de variacio de parametroj, uzi jeno (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas):

Trovi la ĝenerala solvaĵo al la (korespondanta, respektiva) homogena ekvacio $y''(x) + p (x) y'(x) + q (x) y (x) = 0$ . Aparte, trovi du lineare sendependaj solvaĵoj $y 1 (x)$ kaj $y 2 (x)$ .
Ekde $y 1 (x)$ kaj $y 2 (x)$ estas lineare sendependaj solvaĵoj, ilia _Wronskian_ $y 1 (x) y 2'(x) - y 1'(x) y 2 (x)$ estas nenulo, (do, tiel) ni povas komputi $- (g (x) y 2 (x)) / (y 1 (x) y 2'(x) - y 1'(x) y 2 (x))$ kaj $(g (x) y 1 (x)) / (y 1 (x) y 2'(x) - y 1'(x) y 2 (x))$ . Se la antaŭa estas egala al u'(x) kaj la lasta al v'(x), tiam u kaj v kontentigi la du (limigoj, limigas) donita pli supre: (tiu, ke, kiu) $u'(x) y 1 (x) + v'(x) y 2 (x) = 0$ kaj (tiu, ke, kiu) $u'(x) y 1'(x) + v'(x) y 2'(x) = g (x)$ . Ni povas diri ĉi tiu post multiplikante per la denominatoro kaj (komparanta, kontrastiganta) koeficientoj.
Integrali $- (g (x) y 2 (x)) / (y 1 (x) y 2'(x) - y 1'(x) y 2 (x))$ kaj $(g (x) y 1 (x)) / (y 1 (x) y 2'(x) - y 1'(x) y 2 (x))$ al ricevi u(x) kaj v(x), respektive. ((Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ni nur (bezoni, bezono, necesa) unu elekto de u kaj v, (do, tiel) estas ne (bezoni, bezono, necesa) por (konstantoj, konstantas) de integralado.)
Komputi $y p (x) = u (x) y 1 (x) + v (x) y 2 (x)$ . La funkcio $y p$ estas unu solvaĵo de $y''(x) + p (x) y'(x) + q (x) y (x) = g (x)$ .
La ĝenerala solvaĵo estas $c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + y p (x)$ , kie $c 1$ kaj $c 2$ estas ajna (konstantoj, konstantas).

[redaktu] pli alta-(mendi, ordo) ekvacioj

La maniero de variacio de parametroj povas ankaŭ esti uzita kun pli alta-(mendi, ordo) ekvacioj. Ekzemple, se $y 1 (x)$ , $y 2 (x)$ , kaj $y 3 (x)$ estas lineare sendependaj solvaĵoj al $y'''(x) + p (x) y''(x) + q (x) y'(x) + r (x) y (x) = 0$ , tiam tie ekzisti funkcioj u(x), v(x), kaj w(x) tia (tiu, ke, kiu) $u'(x) y 1 (x) + v'(x) y 2 (x) + w'(x) y 3 (x) = 0$ , $u'(x) y 1'(x) + v'(x) y 2'(x) + w'(x) y 3'(x) = 0$ , kaj $u'(x) y 1''(x) + v'(x) y 2''(x) + w'(x) y 3''(x) = g (x)$ . Havanta fundamenti tiaj funkcioj (per solvanta algebre por u'(x), v'(x), kaj w'(x), tiam integralanta ĉiu), ni havi $y p (x) = u (x) y 1 (x) + v (x) y 2 (x) + w (x) y 3 (x)$ , unu solvaĵo al la ekvacio $y'''(x) + p (x) y''(x) + q (x) y'(x) + r (x) y (x) = g (x)$ .

[redaktu] Ekzemplo

Solvi la antaŭa ekzemplo, $y'' + y = sec x$ Memori $\sec x = \frac{1}{{\cos x}} = f$ . De tekniko lernita de 3.1, _LHS_ havas radiko de $r = \pm i$ (tiu, ke, kiu) cedi $y c = C 1 cos x + C 2 sin x$ , ((do, tiel) $y 1 = cos x$ , $y 2 = sin x$ ) kaj ĝiaj derivaĵoj

$\left\{ {\begin{matrix} {\dot u = \frac{{ - y_2 f}}{W} = \frac{{ - \sin x}}{{\cos x}} = \tan x} \\ {\dot v = \frac{{y_1 f}}{W} = \frac{{\cos x}}{{\cos x}} = 1} \\ \end{matrix}} \right.$

kie la _Wronskian_

$W\left( {y_1,y_2 :x} \right) = \left| {\begin{matrix} {\cos x} & {\sin x} \\ { - \sin x} & {\cos x} \\ \end{matrix}} \right| = 1$

estita komputita por ke (strebi, kandidati) solvaĵo al ĝiaj derivaĵoj.

Sur integralado,

$\left\{ \begin{matrix} u = - \int {\tan xdx = - \ln \left| {\sec x} \right| + C} \\ v = \int {1dx = x + C} \\ \end{matrix} \right.$

Komputanta $y p$ kaj $y G$ :

$\begin{matrix} y_p = f = uy_1 + vy_2 = \cos x\ln \left| {\cos x} \right| + x\sin x \\ y_G = y_c + y_p = C_1 \cos x + C_2 \sin x + x\sin x + \cos x\ln \left( {\cos x} \right) \\ \end{matrix}$

[redaktu] Ĝenerala solvaĵa maniero por unua-(mendi, ordo) lineara _ODEs_

Por unua-(mendi, ordo) lineara _ODE_, kun koeficientoj (tiu, ke, kiu) (majo, povas) aŭ (majo, povas) ne varii kun t:

$x'(t) + p (t) x (t) = r (t)$

Tiam,

$x=e^{-a(t)}\left(\int r(t) e^{a(t)} dt + \kappa\right)$

kie $κ$ estas la konstanto de integralado, kaj

$a(t)=\int{p(s)ds}.$

[redaktu] Pruvo

Ĉi tiu pruvo venas de _Jean_ Bernoulli-a. Estu

$x^\prime + px = r$

Supozi por iuj nekonataj funkcioj u(t) kaj v(t) (tiu, ke, kiu) x = _uv_.

Tiam

$x^\prime = u^\prime v + u v^\prime$

Anstataŭiganta enen la diferenciala ekvacio,

$u^\prime v + u v^\prime + puv = r$

Nun, la plej grava (ŝtupo, paŝi): Ekde la diferenciala ekvacio estas lineara ni povas fendi ĉi tiu enen du sendependaj ekvacioj kaj skribi

$u^\prime v + puv = 0$

$u v^\prime = r$

Ekde v estas ne nulo, la supra ekvacio iĝas

$u^\prime + pu = 0$

La solvaĵo de ĉi tiu estas

$u = e^{ - \int p dt }$

Anstataŭiganta enen la (sekundo, dua) ekvacio

$v = \int r e^{ \int p dt } + C$

Ekde x = _uv_, por ajna konstanto C

$x =e^{ - \int p dt } \left( \int r e^{ \int p dt } + C \right)$

[redaktu] Unua (mendi, ordo) diferenciala ekvacio kun konstantaj koeficientoj

Kiel _illustrative_ ekzemplo, konsideri unua (mendi, ordo) diferenciala ekvacio kun konstantaj koeficientoj:

$a\frac{dx}{dt} + bx = Af(t).$

Ĉi tiu ekvacio estas aparte taŭga al unua (mendi, ordo) sistemoj kiel _RC_ cirkvitoj, (maso, amaso)-pli humidaj sistemoj.

Post _nondimensionalization_, la ekvacio iĝas

$\frac{d \chi}{d \tau} + \chi = F(\tau).$

En ĉi tiu (kesto, okazo), p(t) = r(t) = 1.

De ĉi tie ĝia solvaĵo per inspektado estas

$\chi (\tau) = e^{-\tau} \left( \int F(\tau)e^{\tau} \, d\tau + C \right).$

[redaktu] Lineara _PDEs_

La teorio de linearaj partaj diferencialaj ekvacioj (majo, povas) esti dirita al komenci kun Lagrange-a (1779 al 1785). _Monge_ (1809) (traktita, kuracita) ordinara kaj partaj diferencialaj ekvacioj de la unua kaj (sekundo, dua) (mendi, ordo), (unuanta, kuplanta) la teorio al geometrio, kaj prezentanta la nocio de la "karakterizo", la kurbo (prezentita, prezentis) per $F (z) = 0$ , kiu estis esplorita per _Darboux_, _Levy_, kaj (Mensogi, Kuŝi).

[redaktu] Unua-(mendi, ordo) _PDEs_

_Pfaff_ (1814, 1815) donis la unua ĝenerala maniero de integralantaj partaj diferencialaj ekvacioj de la unua (mendi, ordo), kies Gaŭso (1815) donis analitiko. Koŝio (1819) donis pli simpla maniero, atakanta la subjekto de la analitika starpunkto, sed uzanta la _Monge_ karakterizo. Koŝio ankaŭ unua komencita la teoremo (nun (nomita, vokis) la Koŝio-_Kovalevskaya_ teoremo) (tiu, ke, kiu) ĉiu analitika diferenciala ekvacio difinas analitika funkcio, esprimebla per konverĝa serio.

Jakobio (1827) ankaŭ donis analitiko de _Pfaff_'s maniero, ekster (rivelanta, ellaboranta) originala unu (1836) kiu _Clebsch_ (publikigita, publikigis) (1862). _Clebsch_'s posedi maniero aperita en 1866, kaj aliaj estas pro al (Buleo, Bulea) (1859), _Korkin_ (1869), kaj A. _Mayer_ (1872). _Pfaff_'s problemo (sur tutecaj diferencialaj ekvacioj) estis esplorita per _Natani_ (1859), _Clebsch_ (1861, 1862), _DuBois_-_Reymond_ (1869), _Cayley_, _Baltzer_, Frobenius-a, _Morera_, _Darboux_, kaj (Mensogi, Kuŝi).

La venonta granda plibonigo en la teorio de partaj diferencialaj ekvacioj de la unua (mendi, ordo) estis farita per (Mensogi, Kuŝi) (1872), kiu lokita la tuta subjekto sur solido (fundamento, subkonstruaĵo). Post pri 1870, _Darboux_, _Kovalevsky_, _Méray_, (Palaceto, Kastelo), _Graindorge_, kaj _Imschenetsky_ iĝis elstara en ĉi tiu linio. La teorio de partaj diferencialaj ekvacioj de la (sekundo, dua) kaj pli alta (mendas, ordoj), (komenco, komencanta) kun Laplaco kaj _Monge_, estis rimarkinde plibonigita per _Ampère_ (1840).

La integralado de partaj diferencialaj ekvacioj kun tri aŭ pli (variabloj, variablas) estita la objekto de ellabori (ekzamenoj, esploroj, esploras) per Lagrange-a, kaj lia nomo iĝis koneksa kun certaj filiaj ekvacioj. Ĝi estis li kaj _Charpit_ kiu devenis unu de la manieroj por integralanta la ĝenerala ekvacio kun du (variabloj, variablas); maniero kiu nun (ursoj, ursas) _Charpit_'s nomo.

[redaktu] Singularaj solvaĵoj

La teorio de singularaj solvaĵoj de ordinara kaj partaj diferencialaj ekvacioj estis subjekto de esplori de la tempo de Gottfried Wilhelm Leibniz, sed nur ekde la mezo de la dek-naŭa jarcenta farita ĝi ricevi speciala atento. Kara sed malgranda-sciata laboro sur la subjekto estas (tiu, ke, kiu) de _Houtain_ (1854). _Darboux_ (startanta en 1873) estis a estro en la teorio, kaj en la geometria interpretado de ĉi tiu solvaĵa li malfermis kampo kiu estis laborita per diversaj aŭtorinoj, rimarkinde _Casorati_ kaj _Cayley_. Al la lasta estas pro (1872) la teorio de singularaj solvaĵoj de diferencialaj ekvacioj de la unua (mendi, ordo) kiel akceptis _circa_ 1900.

[redaktu] Malpligrandiĝo al (kvadraturoj, kvadraturas)

La primitivo provi en kontraktanta kun diferencialaj ekvacioj havis en vida malpligrandiĝo al (kvadraturoj, kvadraturas). Kiel ĝi havis estas la esperi de dek-oka-jarcento (algebristoj, algebristas) al trovi maniero por solvanta la ĝenerala ekvacio de la $n$ (th, -a) grado, (do, tiel) ĝi estis la esperi de analizistoj al trovi ĝenerala maniero por integralanta (ĉiu, iu) diferenciala ekvacio. Gaŭso (1799) montris, tamen, (tiu, ke, kiu) la diferenciala ekvacio verigas ĝiaj limigoj tre baldaŭ se ne kompleksaj nombroj estas prezentita. De ĉi tie analizistoj komencita al (anstataŭa, anstataŭigi) la studi de funkcioj, tial (malfermante, malfermanta) nova kaj fekunda kampo. Koŝio estis la unua al aprezi la graveco de ĉi tiu vido. Post tio la (reala, reela) demando estis al esti, ne ĉu solvaĵo estas ebla per sciataj funkcioj aŭ iliaj integraloj, sed ĉu donita diferenciala ekvacio sufiĉas por la difino de funkcio de la nedependa variablo aŭ (variabloj, variablas), kaj se (do, tiel), kio estas la karakterizaj propraĵoj de ĉi tiu funkcio.

[redaktu] La _Fuchsian_ teorio

Du _memoirs_ per _Fuchs_ (_Crelle_, 1866, 1868), kuraĝigita romano (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo), sinsekve ellaboris per _Thomé_ kaj Frobenius-a. _Collet_ estis elstara _contributor_ (komenco, komencanta) en 1869, kvankam lia maniero por integralanta a ne-lineara sistemo estis komunikita al _Bertrand_ en 1868. _Clebsch_ (1873) atakis la teorio laŭ linia paralelo al tiuj sekvis en lia teorio de Abelaj integraloj. Kiel la lasta povas esti (klasifikita, klasigita) laŭ la propraĵoj de la fundamenta kurbo kiu restas neŝanĝita sub a (racionala, racionalo) transformo, (do, tiel) _Clebsch_ proponis al (klasifiki, klasigi) la transcendaj funkcioj difinis per la diferencialaj ekvacioj laŭ la invariantaj propraĵoj de la (korespondanta, respektiva) (surfacoj, surfacas) f = 0 sub (racionala, racionalo) (bijekcia, dissurĵeta) (transformoj, transformas).

[redaktu] Mensoga teorio

De 1870 Mensoga laboro meti la teorio de diferencialaj ekvacioj sur pli kontentiga (fundamento, subkonstruaĵo). Li montris (tiu, ke, kiu) la integralado (teorioj, teorias) de la pli malnova (matematikistoj, matematikistas) povas, per la enkonduko de kio estas nun (nomita, vokis) (Mensogi, Kuŝi) (grupoj, grupas), esti referita al komuna fonto; kaj (tiu, ke, kiu) ordinaraj diferencialaj ekvacioj kiu konsenti la samaj infinitezimaj transformoj (prezenti, aktuala) komparebla (malfacilaĵoj, malfacilaĵas) de integralado. Li ankaŭ emfazis la subjekto de (transformoj, transformas) de (kontakti, kontakto) (_Berührungstransformationen_).

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

Ekzemploj de diferencialaj ekvacioj
Diferencialaj ekvacioj de matematika fiziko
Diferencialaj ekvacioj de ekster fiziko
Diferenca ekvacio
Laplaca konverto aplikis al diferencialaj ekvacioj
Randa valora problemo
Listo de dinamikaj sistemoj kaj diferencialaj ekvaciaj temoj

[redaktu] Bibliografio

A. Don/Doña _Polyanin_ kaj V. F. _Zaitsev_, Gvidlibro de Akurataj Solvaĵoj por Ordinaraj Diferencialaj Ekvacioj (2-a redakcio)", _Chapman_ & Koridoro/_CRC_ Premi, _Boca_ _Raton_, 2003. ISBN 1-58488-297-2
A. Don/Doña _Polyanin_, V. F. _Zaitsev_, kaj A. _Moussiaux_, Gvidlibro de Unua (Mendi, Ordo) Partaj Diferencialaj Ekvacioj, Taylor & Francisko, Londono, 2002. ISBN 0-415-27267-X
Don/Doña _Zwillinger_, Gvidlibro de Diferencialaj Ekvacioj (3-a redakcio), Akademia Premi, _Boston_, 1997.
_Hartman_, _Philip_, Ordinaraj Diferencialaj Ekvacioj, 2-a _Ed_., Socio por Industria & Aplikis Math, 2002. ISBN 0898715105.
W. _Johnson_, A Traktato sur Ordinara kaj Partaj Diferencialaj Ekvacioj, Johano _Wiley_ kaj (Filoj, Fas), 1913, en Universitato de Miĉigano Historia Math Kolekto

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

_EqWorld_: La Mondo de Matematikaj Ekvacioj, enhavanta listo de ordinaraj diferencialaj ekvacioj kun iliaj solvaĵoj.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Ordinara_diferenciala_ekvacio_2782.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Diferenciala kalkulo | Ordinaraj diferencialaj ekvacioj

Vikipedio:Projekto matematiko/Ordinara diferenciala ekvacio

El Vikipedio

Enhavo

[redaktu] Difino

[redaktu] Ĝenerala apliko

[redaktu] Ekzisto kaj naturo de solvaĵoj

[redaktu] (Klavas, Tipoj) de diferencialaj ekvacioj kun iu historio

[redaktu] Homogena lineara _ODEs_ kun konstantaj koeficientoj

[redaktu] Lineara _ODEs_ kun konstantaj koeficientoj

[redaktu] Lineara _ODEs_ kun (variablo, varianta) koeficiento

[redaktu] Maniero de nedifinitaj koeficientoj

[redaktu] Maniero de variacio de parametroj

[redaktu] Fakto

[redaktu] Pruvo

[redaktu] Uzado

[redaktu] pli alta-(mendi, ordo) ekvacioj

[redaktu] Ekzemplo

[redaktu] Ĝenerala solvaĵa maniero por unua-(mendi, ordo) lineara _ODEs_

[redaktu] Pruvo

[redaktu] Unua (mendi, ordo) diferenciala ekvacio kun konstantaj koeficientoj

[redaktu] Lineara _PDEs_

[redaktu] Unua-(mendi, ordo) _PDEs_

[redaktu] Singularaj solvaĵoj

[redaktu] Malpligrandiĝo al (kvadraturoj, kvadraturas)

[redaktu] La _Fuchsian_ teorio

[redaktu] Mensoga teorio

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

[redaktu] Bibliografio

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj