Algoritmo de la división
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En la aritmética el algoritmo de la división, también llamado división euclídea, es un teorema que afirma lo siguiente:
para cualesquiera enteros D y d, con d no nulo, existen enteros únicos c y r, llamados cociente y residuo respectivamente, tales que
 |
y |  . |
Por el algoritmo de la división se deduce que 
es un dominio euclídeo tomando como norma el valor absoluto. Una consecuencia inmediata del algoritmo de la división es que puede usarse el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números enteros.
Un concepto que generaliza el algoritmo de la división es el de norma euclídea. De este modo cualquier dominio euclídeo cumple con un principio similar al algoritmo de la división, como es el caso, por ejemplo, de un anillo de polinomios ![\mathbb{K}[x]](../../../math/d/d/f/ddf3e61714833d45bad11d235837b772.png)
en que 
es un cuerpo.
[editar] Ejemplos
otros
[editar] Demostración
Considérese el conjunto 
y 
de residuos mayores o iguales a cero. Este conjunto es no vacío, pues siempre es posible hacer 
cuando 
para una buena elección de x. Vemos pues que 
, de modo que R tiene un mínimo, digamos r. Supóngase que r = D − dc para cierto entero c. Tenemos que, al ser d no nulo,
 |
(1) |
Si fuera 
, se tendría 
, y como r = D − dc, sería 
, o sea
 |
o |  , |
pero entonces 
, lo que, en vista de (), contradice nuestra elección de r como el menor residuo en R. Ha de ser pues r < | d | , como afirma el algoritmo de la división.
Para probar la unicidad supóngase que D = dc + r = dc' + r'. Defínase 
si 
y 
si d < 0. De manera similar se define 
. Sin perdida de generalidad, puede suponerse que 
. De todo esto tenemos
,
esto es, D < D, una contradicción, de modo que debe ser c = c', luego dc + r = dc + r', y como consecuencia r = r'. Esto completa la prueba del algoritmo de la división.
