Clasificación de discontinuidades

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Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Considérese una función $f (x)$ , de variable real $x$ , definida para todo valor de $x$ excepto posiblemente para un cierto valor $x 0$ . Es decir, $f (x)$ está definida para $x < x 0$ y para $x > x 0$ . Definamos también:

el límite por izquierda en $x 0$ , es decir, el límite al aproximarse al valor $x = x 0$ mediante valores menores a $x 0$ , como:

$L^{-}=\lim_{x\rarr x_0^{-}} f(x)$

el límite por derecha en $x 0$ , es decir, el límite al aproximarse al valor $x = x 0$ mediante valores mayores a $x 0$ , como:

$L^{+}=\lim_{x\rarr x_0^{+}} f(x)$

En estas condiciones, pueden darse tres posibilidades:

Los límites $L -$ y $L +$ existen en $x = x 0$ , son finitos y son iguales. En este caso, se dice que $x 0$ es una discontinuidad removible o una discontinuidad que puede salvarse.
Los límites $L -$ y $L +$ existen y son finitos, pero no son iguales. En este caso, se dice que $x 0$ es una discontinuidad por salto.
Al menos uno de los límites $L -$ y $L +$ no existe o es infinito. En este caso, se dice que $x 0$ es una discontinuidad esencial.

[editar] Ejemplos

Función del ejemplo 1,

f 1 (x)

: una discontinuidad removible

1. Sea la función

$f_1(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ para } x<1 \\ 0 & \mbox { para } x=1 \\ 2-x& \mbox{ para } x>1\end{matrix}\right.$

El punto $x 0 = 1$ es una discontinuidad removible. Esta función puede hacerse contínua simplemente redefiniendo la función en este punto para que valga $f 1 (x 0) = 1$ .

Función del ejemplo 2,

f 2 (x)

: una discontinuidad por salto

2. Sea la función

$f_2(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ para } x<1 \\ 0 & \mbox { para } x=1 \\ 2-(x-1)^2& \mbox{ para } x>1\end{matrix}\right.$

El punto $x 0 = 1$ es una discontinuidad por salto.

Función del ejemplo 3,

f 3 (x)

: una discontinuidad esencial

3. Sea la función

$f_3(x)=\left\{\begin{matrix}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ para } x<1 \\ 0 & \mbox { para } x=1 \\ \frac{0.1}{x-1}& \mbox{ para } x>1\end{matrix}\right.$

El punto $x 0 = 1$ es una discontinuidad esencial, para lo cual hubiese bastado que uno de los dos límites laterales no exista o sea infinito (en este caso se cumple para ambos límites laterales: para el límite por izquierda y para el límite por derecha).

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Categoría: Análisis matemático

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