Discontinuïteit

Van Wikipedia

Een functie is discontinu in een punt indien de functie daar niet continu is. Intuïtief betekent dit dat de functie daar niet in één vloeiende lijn getekend kan worden: er is bijvoorbeeld een gat of een sprong. Een meer wiskundige beschrijving is te vinden in het artikel over continuïteit.

[bewerk] Classificatie

Naargelang de aard van de discontinuïteit kunnen we deze als volgt classificeren.

Een ophefbare discontinuïteit

[bewerk] Ophefbare discontinuïteit

Bij een ophefbare discontinuïteit is de functie niet gedefinieerd in een punt, maar de linkerlimiet is er gelijk aan de rechterlimiet. De functie kan continu gemaakt worden door de functiewaarde in het betreffende punt gelijk te stellen aan zijn limietwaarde.

Voorbeeld

$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ als } x< 1 \\ 2-x& \mbox{ als } x>1\end{matrix}\right.$

De discontinuïteit in x = 1 kan opgeheven worden door f(1) = 1 te stellen.

Een sprong-discontinuïteit

[bewerk] Sprong-discontinuïteit

Bij een sprong-discontinuïteit bestaan linker- en rechterlimiet, maar deze zijn verschillend.

Voorbeeld

$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ als } x< 1 \\ 2-(x-1)^2& \mbox{ als } x>1\end{matrix}\right.$

Nu is er in x = 1 sprake van een sprong-discontinuïteit, deze kan niet opgeheven worden.

Een essentiële discontinuïteit

[bewerk] Essentiële discontinuïteit

Bij een essentiële discontinuïteit bestaan linker- en/of rechterlimiet niet of zijn deze oneindig.

Voorbeeld

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ als } x< 1 \\ & \\ \frac{0.1}{x-1}& \mbox{ als } x>1\end{matrix}\right.$

In x = 1 is er nu een essentiële discontinuïteit: de linkerlimiet bestaat niet en de rechterlimiet is oneindig. Merk op dat één van beide volstond om te kunnen spreken van een essentiële discontinuïteit.

[bewerk] Discontinu op een interval

De meeste functies zijn discontinu in bepaalde punten, zoals in de voorbeelden hierboven. Sommige functies zijn echter over een heel interval discontinu.

Een bekend voorbeeld is de Dirichlet functie, deze is zelfs overal discontinu:

$f(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{ als } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \mbox{ als } x \not\in \mathbb{Q} \end{cases}$