Cota inferior asintótica

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En análisis de algoritmos una cota inferior asintótica es una función que sirve de cota inferior de otra función cuando el argumento tiende a infinito. Usualmente se utiliza la notación Ω(g(x)) para referirse a las funciones acotadas inferiormente por la función g(x).

Más formalmente se define:

$\Omega(g(x)) = \left\{\begin{matrix} f(x) : \mbox{existen } c,x_0 \mbox{ constantes positivas tales que} \\ \forall x:x_0\le x: 0\le cg(x)\le f(x) \end{matrix}\right\}$

Una función f(x) pertenece a Ω(g(x)) cuando existe una constante positiva c tal que a partir de un valor $x 0$ f(x) no supera $c g (x)$ . Quiere decir que la función f es superior a g a partir de un valor dado salvo por una factor constante.

La cota inferior asintótica tiene utilidad en Teoría de la complejidad computacional a la hora de calcular la complejidad del mejor caso para los algoritmos.

f(x)=Ω(g(x))

A pesar de que Ω(g(x)) está definido como un conjunto, se acostumbra escribir f(x)=Ω(g(x)) en lugar de f(x) ∈ Ω(g(x)). Muchas veces también se habla de una función nombrando únicamente su expresión, como en x² en lugar de h(x)=x², siempre que esté claro cual es el parámetro de la función dentro de la expresión. En la gráfica se da un ejemplo esquemático de como se comporta $c g (x)$ con respecto a f(x) cuando x tiende a infinito.

La cota ajustada asintótica (notación Θ) tiene relación con la las cotas superior (notación O) e inferior asintóticas :

f (x) = Θ(g (x)) si y solo si f (x) = O (g (x)) y f (x) = Ω(x)

[editar] Ejemplos

La función x² puede ser acotada inferiormente por la función x. Para demostrarlo basta notar que para todo valor de x≥1 se cumple x≤x². Por tanto x² = Ω(x) (sin embargo, x no sirve como cota superior para x²).
La función x²+200x está acotada inferiormente por x². Quiere decir que cuando x tiende a infinito el valor de 200x se puede despreciar con respecto al de x².