Ecuación en derivadas parciales

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En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.

[editar] Introducción

Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:

$\frac{\part u}{\part x}=0\,$

donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación es

$u(x,y) = f(y),\,$

donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

$\frac{du}{dx}=0,\,$

que tiene la siguiente solución

$u(x) = c,\,$

Donde c es cuanquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función $f (y)$ puede determinarse si $u$ se especifica sobre la línea $x = 0$ .

[editar] Notación y Ejemplos

En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:

$u_x = {\part u \over \part x}$

$u_{xy} = {\part^2 u \over \part y\, \part x} = {\part \over \part y } \left({\part u \over \part x}\right).$

Especialmente en la física (matemática), se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como $\nabla=(\part_x,\part_y,\part_z)$ ) para las derivadas espaciales y un punto ( $\dot u$ ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como

$\ddot u=c^2\Delta u.\,$ (notación matemática)

$\ddot u=c^2\nabla^2u.\,$ (notación física)

[editar] Enlaces externos

Ecuaciones en derivadas parciales: las soluciones exactas en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Ecuaciones en derivadas parciales: Índice en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Ecuaciones en derivadas parciales: Métodos de resolución en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Problemas de ejemplo con soluciones en exampleproblems.com
Ecuaciones en derivadas parciales en mathworld.wolfram.com
Object Oriented Finite Element Solver with GNU license

[editar] Referencias

R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Wiley-Interscience, New York, 1962.
L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
J. Jost, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2002.
Hans Lewy (1957) An example of a smooth linear partial differential equation without solution. Annals of Mathematics, 2nd Series, 66(1),155-158.
I.G. Petrovskii, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2004. ISBN 1-58488-355-3
A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.
Y. Pinchover and J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge University Press, Cambridge, 2005. ISBN 978-0-521-84886-2