Generador de un ideal
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Sea A un dominio y X un subconjunto de A. Si I es el mínimo ideal de A tal que 
, se dice que X es el generador del ideal I o, equivalentemente, que I es un ideal de A generado por X.
El ideal de A generado por el subconjunto X de A se denota comúnmente por
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Cuando X es un conjunto finito, digamos 
, se dice que el ideal (X) es finitamente generado y se representa comúnmente por 
. En particular, si 
(i.e. si X contiene un sólo elemento), se dice que (x) es un ideal principal de A.
Si A es un dominio tal que todos sus ideales son finitamente generados, entonces A es un anillo noetheriano, y recíprocamente. En particular, un anillo noetheriano cuyos ideales son todos principales se dice dominio de ideales principales (DIP).
[editar] Propiedades
Todo subconjunto X de un dominio A es el generador de algún ideal de A, pues siempre existe por lo menos un ideal que contiene a X (e.g. el propio dominio A). El ideal de A generado por X, (X), puede obtenerse explícitamente considerando que la intersección de cualquier familia de ideales es un ideal, y que, en particular, es el menor de todos ellos. Así,
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(1) |
donde cada Ii es un ideal tal que 
.
Si X,Y son subconjuntos de A tales que 
, claramente 
Un hecho que se deduce a partir de la definición de un ideal generado y de la de un ideal cualquiera es que
 , |
(2) |
por lo que todo elemento de un ideal generado es una combinación lineal de los elementos de X, y se tiene así una forma de poner un ideal generado en términos de sus elementos. La ecuación () y la ecuación () pueden considerarse como definiciones equivalentes de ideal generado, aunque generalmente se usa () y de ahí se deduce fácilmente ().
