Integral de línea

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En la matemática, una integral de línea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva.

[editar] Definición

Para f : Rⁿ → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t) con t ∈ [a, b], está definida como:

$\int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.$

Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).

Para F : Rⁿ → Rⁿ un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t ∈ [a, b], está definida como:

$\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,d\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.$

Las integrales de línea también son independientes de la parametrización, sin embargo, su signo depende del sentido de recorrido. Llamamos positivo al sentido antihorario.

Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

$\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,d\mathbf{x} = \int_C \mathbf{F}_1 dx^1+\mathbf{F}_2 dx^2+\cdots+\mathbf{F}_n dx^n$

donde se aprecia que la integral de linea es un operador que asigna un número real al par $(C,\mathbf{\omega})$ donde

$\mathbf{\omega}=\mathbf{F}_1 dx^1+\mathbf{F}_2 dx^2+\cdots+\mathbf{F}_n dx^n$

es una 1-forma.

[editar] Independencia de la curva de integración

Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G, esto es:

$\nabla G = \mathbf{F},$

entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:

$\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)$

con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:

$\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,d\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).$

La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente del camino entre a y b.

Por esta razón, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o también conservativo.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../i/n/t/Integral_de_l%C3%ADnea.html"

Categoría: Integrales

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