Intervalo de confianza

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Se llama intervalo de confianza en estadística a un intervalo de valores alrededor de un parámetro muestral en los que, con una probabilidad o nivel de confianza determinado, se situará el parámetro poblacional a estimar. Si $α$ es el error aleatorio que se quiere cometer, la probabilidad será de $1 - α$ . A menor nivel de confianza el intervalo será más preciso, pero se cometerá un mayor error.

Para comprender las siguientes fórmulas, es necesario conocer los conceptos de variabilidad del parámetro, error, nivel de confianza, valor crítico y valor α (véase Estimación por intervalos).

Un intervalo de confianza es, pues, una expresión del tipo [θ₁, θ₂] ó θ₁ ≤ θ ≤ θ₂, donde θ es el parámetro a estimar. Este intervalo contiene al parámetro estimado con una determinada certeza o nivel de confianza 1-α.

Al ofrecer un intervalo de confianza se da por supuesto que los datos poblacionales se distribuyen de un modo determinado. Es habitual que lo hagan mediante la distribución normal. La construcción de intervalos de confianza se realiza usando la desigualdad de Chebyshev

Tabla de contenidos

1 Ejemplos
- 1.1 Intervalo de confianza para la media de una población
2 Véase también
3 Referencias

[editar] Ejemplos

[editar] Intervalo de confianza para la media de una población

De una población de media $μ$ y desviación típica $σ$ se pueden tomar muestras de $n$ elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( $\bar{x}$ ). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:

$\mu_{\bar{x}} = \mu$

Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, las medias muestrales tienden a una distribución normal (o gaussiana) con dicha media y una desviación típica dada por la siguiente expresión:

$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sigma^2}{n}; \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Si estandarizamos:

$\frac{\bar{x} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0, 1)$

En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral ( $\bar{x}$ ), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95% y 99%. A este valor se le llamará $1 - α$ (debido a que $α$ es el error que se cometerá, un término opuesto).

Para ello se necesita calcular el punto $X α / 2$ —o mejor dicho su versión estandarizada $Z α / 2$ — junto con su "opuesto en la distribución" $X - α / 2$ . Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:

Dicho punto es el número tal que:

$\mathbb{P}[\bar{x} \ge X_{\alpha/2}] = \mathbb{P}[z \ge Z_{\alpha/2}] = \alpha/2$

Y en la versión estandarizada se cumple que:

$Z - α / 2 = - Z α / 2$

Así:

$\mathbb{P}\left[-Z_{\alpha/2} \le \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le Z_{\alpha/2}\right] = 1 - \alpha$

Haciendo operaciones es posible despejar $μ$ para obtener el intervalo:

$\mathbb{P}\left[\bar{x} - Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] = 1 - \alpha$

Resultado el intervalo de confianza:

$(\bar{x} - Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$

Si $σ$ no es conocida y n es grande (p.e. ≥ 30):

$(\bar{x} - Z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + Z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}})$ , donde s es la desviación típica de una muestra.

Aproximaciones para el valor $Z α / 2$ para los niveles de confianza estándar son 1,96 para $1 - α = 95%$ y 2,57 para $1 - α = 99%$ .

[editar] Véase también

[editar] Referencias

Fisher, R.A. (1956) Statistical Methods and Scientific Inference. Oliver and Boyd, Edinburgh. (See p. 32.)
Freund, J.E. (1962) Mathematical Statistics Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. (See pp. 227-228.)
Hacking, I. (1965) Logic of Statistical Inference. Cambridge University Press, Cambridge
Keeping, E.S. (1962) Introduction to Statistical Inference. D. Van Nostrand, Princeton, NJ.
Kiefer, J. (1977) Journal of the American Statistical Association, 72, 789-827.
Neyman, J. (1937) Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 236, 333-380. (Seminal work.)
Robinson, G.K. (1975) Biometrika, 62, 151-161.
Zar, J.H. (1984) Biostatistical Analysis. Prentice Hall International, New Jersey. pp 43-45

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