Operador norma

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Tienes mensajes nuevos (Dif. entre las dos últimas versiones).

Tabla de contenidos

1 Noción general de Norma de un vector
2 Definición matemática euclídea
- 2.1 Definición geométrica elemental (basada en el teorema de Pitágoras)
- 2.2 Definición "pitagórica" ampliada a más dimensiones
3 Definición matemática general
- 3.1 Condiciones básicas de una longitud
- 3.2 Operador Norma
4 Alternativas en otras geometrías.

[editar] Noción general de Norma de un vector

Un vector es un elemento de un espacio vectorial para el que, en ocasiones, especialmente en Física y Geometría, interesa conocer su longitud. Esto es lo que hace el operador norma: determina la longitud del vector bajo consideración.

Esto, que puede parecer un problema trivial, se complica con la aparición de las geometrías no euclídeas para las que aparece, asociada al concepto de longitud, la noción de geodésica. Para ampliar estas ideas conviene conocer la geometría riemanniana y la geometría diferencial.

Por tanto, basándonos en las propiedades realmente básicas de la determinación de la longitud, definimos matemáticamente qué condiciones debe satisfacer un operador que actúe sobre un vector para poder ser considerado un operador norma. De esta forma, aparecen varias posibilidades que han sido muy fructíferas en diversos campos entre los que cabe destacar la Astrofísica y la Cosmología.

[editar] Definición matemática euclídea

[editar] Definición geométrica elemental (basada en el teorema de Pitágoras)

En un espacio euclídeo como el habitual, y con coordenadas cartesianas habituales, la longitud que dista entre los puntos A y B es el módulo del vector $\vec {AB}$ . Es elemental entonces que:

En dos dimensiones:

$|| \vec {AB} || = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}$ siendo $\vec {OA} = (a_1, a_2)$ y $\vec {OB} = (b_1, b_2)$ y O el origen de coordenadas.

Extendiendo lo anterior al espacio euclídeo de tres dimensiones, es también elemental que:

$|| \vec {AB} || = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}$ siendo $\vec {OA} = (a_1, a_2, a_3)$ y $\vec {OB} = (b_1, b_2, b_3)$

[editar] Definición "pitagórica" ampliada a más dimensiones

Según lo anterior podemos extender el concepto de norma a espacios euclídeos de más dimensiones (ver el apartado Alternativas en otras geometrías para mayor ampliación) sin más que extender el sumatorio:

$|| \vec {AB} || = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + ... + (b_n - a_n)^2}$ siendo $\vec {OA} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ y $\vec {OB} = (b_1, b_2, ..., b_n)$

[editar] Definición matemática general

Observando los operadores norma "pitagóricos" definidos más arriba llegamos a las condiciones que debe satisfacer una definición matemática de la operación "determinación de una longitud".

[editar] Condiciones básicas de una longitud

Son condiciones básicas de una longitud las siguientes:

Siempre es positiva e independiente del sentido (orientación) de la medición.
La longitud debe ser directamente proporcional al tamaño (es decir, doble -o triple- de tamaño significa doble -o triple- de longitud).
La longitud entre dos puntos será siempre menor o igual que la suma de longitudes desde esos mismos dos puntos a un tercero diferente de ellos (desigualdad triangular: la suma de dos lados de un triángulo nunca es menor que el tercer lado).

Esto genera la siguiente definición matemática:

[editar] Operador Norma

Sea $\mathbf{V}$ un espacio vectorial afín sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ y $\vec x$ un vector del espacio. Se dice que $||.||:V\rightarrow \mathbb{K}$ es un operador que define la norma de $\vec x$ , y escribimos $||\vec x||$ , si cumple:

Para todo $\vec x$ de $\mathbf{V}$ su norma ha de ser positiva, y será cero si y sólo si $\vec x$ es el vector cero: $0 < ||\vec x||$ si $\vec x \neq \vec 0$ y $||\vec x|| = 0 \Longleftrightarrow \vec x = \vec 0$ .
Para todo $\vec x$ de $\mathbf{V}$ y para todo k de $\mathbb{K}$ se satisface que $||k \vec x || = |k|$ · $|| \vec x ||$
Para todos $\vec x$ e $\vec y$ de $\mathbf{V}$ se cumple que $|| \vec {x} + \vec {y} || \leq || \vec {x} || + || \vec {y} ||$ (desigualdad de Cachy-Schwarz).

Cualquier operador que cumpla estas tres condiciones, y en cualquier geometría, será un operador norma.

[editar] Alternativas en otras geometrías.

Con esta definición matemática general y recurriendo a la definición de producto escalar, observamos que en un espacio euclídeo el operador norma habitual se puede definir:

$|| \vec x || = \sqrt{\langle\vec x , \vec x \rangle}$

Esto permite ampliar el cálculo de una longitud a otras geometrías de forma que la operación, en su método básico habitual (el cuadrado escalar), no cambie. Con lo que se consigue que en los casos límite entre geometrías todo fluya con normalidad; como requieren varias disciplinas como la Astrofísica, especialmente la relatividad general.

[editar] La norma y la métrica

Así, a través del producto escalar, aparece la relación entre norma y métrica del espacio en que nos encontremos mediante la expresión (en la que hemos utilizado la convención de la adición de Einstein):

$|| \vec x || = \sqrt{ g_{ij} x^i \overline x^j }$

Donde $\overline x^j$ son las coordenadas del vector contravariante (complejas conjugadas).

[editar] Producto escalar con una métrica no euclídea

En el espacio afín euclídeo habitual se suele escoger un sistema de referencia { $O; \vec i, \vec j, \vec k$ } cuyo producto escalar está definido por la métrica:

$g = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

En un espacio de geometría diferente el tensor métrico obtenido no se podrá reducir al ilustrado sobre estas líneas en el mismo sistema de referencia; es decir, tendremos una métrica diferente con elementos $g i j$ diferentes, alterando así el contenido numérico de la expresión anterior de $|| \vec x ||$ pero no la forma de dicha expresión. Lo que confiere una consistencia formal a la idea de otras geometrías posibles (ver geometría diferencial y geometría riemanniana).

[editar] Operador norma: ejemplos

A continuación se muestran algunos otros ejemplos de posibles operadores norma (que satisfacen la definición matemática general):

Para un vector $\vec x = (x_1,x_2,...,x_n)$ se define la norma p como:

$|| \vec x ||_p = \sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+...+|x_n|^p}$

Así, para el caso $p = 1$ se obtiene $|| \vec x ||_1 = |x_1| + |x_2| + ... + |x_n|$ , y para el caso $p = 2$ se obtiene la norma usual euclídea explicada más arriba.