נורמה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, מושג הנורמה בא להכליל את מושג האורך, המוכר מחיי היום-יום (בשלושה ממדים). נורמה היא פונקציה שמתאימה לכל וקטור במרחב וקטורי ערך ממשי שמקיימת מספר דרישות, שהן התכונות הבסיסיות שיש לצפות שאורך יקיים:

אורך הוא תמיד חיובי, חוץ מאורכו של וקטור האפס, שהוא אפס.
הכפלה של הווקטור בסקלר מכפילה גם את אורכו בערכו המוחלט של אותו סקלר.
מתקיים אי שוויון המשולש בחיבור וקטורים.

[עריכה] הגדרה פורמלית

יהא $\ V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\ F$ (לרוב יהיה זה שדה המספרים הממשיים או המרוכבים). נורמה על המרחב הווקטורי היא פונקציה שתחומה המרחב הווקטורי וטווחה המספרים הממשיים, שתסומן $\ \|\cdot \|$ (כאשר הנקודה מציינת את המקום שבו נכתב הווקטור שעליו מופעלת הפונקציה) ומקיימת את התכונות הבאות:

$\ \|x\|\ge 0$ ומתקיים $\ \|x\|=0\Leftrightarrow x=\vec 0$ (חיוביות)
$\ \|\lambda\cdot x\|=|\lambda |\cdot \|x\|$ (הומוגניות)
$\ \|x+y\|\le \|x\|+\|y\|$ (אי-שוויון המשולש)

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] הערך המוחלט

על הישר הממשי, הערך המוחלט הוא נורמה. קל לראות שהוא מקיים את כל האקסיומות (לרבות את אי-שוויון המשולש).

[עריכה] נורמה במרחבי מכפלה פנימית

בכל מרחב מכפלה פנימית מוגדרת נורמה על-ידי $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ , כאשר $\langle\cdot ,\cdot\rangle$ המכפלה הפנימית במרחב. אומרים שהנורמה הזו מושרית על-ידי המכפלה הפנימית. לנורמה כזו, ובמיוחד במרחבים מממד סופי, קוראים "נורמה אוקלידית".

משפט: נורמה היא אוקלידית אם ורק אם היא מקיימת את שוויון המקבילית שהוא $\!\, \| f+g \| ^2 + \| f - g \| ^2 = 2 \| f \| ^2 + 2 \| g \| ^2$ .

מסקנה: מכפלה פנימית משרה נורמה אוקלידית ואילו נורמה אוקלידית משרה מכפלה פנימית שנתונה על ידי $\!\, \lang f , g \rang = {1 \over 2} \left( \| f + g \| ^2 - \| f \| ^2 - \| g \| ^2 \ \right)$

יחס דומה, מעט כללי יותר, מתקיים בין תבניות ריבועיות לבין תבניות בילינאריות.

[עריכה] הנורמה הסטנדרטית במרחב האוקלידי

הנורמה המקובלת ביותר במרחב הווקטורי $\ \mathbb{R}^n$ היא $\|x\| = \sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2}$ , הנקראת הנורמה הסטנדרטית. זוהי הנורמה הטבעית במרחבי מכפלה פנימית ומקיימת את התכונות הגאומטריות המוכרות לנו.

[עריכה] נורמת p

דוגמה לנורמה לא-אוקלידית במרחב הווקטורי $\ \mathbb{R}^n$ היא 'נורמת $\ p$ ' שמוגדרת כך:

$\!\, \| x \| _p = \left( \sum_{i=1}^{n}{|x|^p} \right) ^{1 \over p}$ , כאשר $\ p\ge1$ ממשי קבוע.

יש להוכיח שהיא מקיימת את אי שוויון המשולש, זאת עושים באמצעות אי-שוויון הולדר.

הערה: עבור $\ p=2$ מקבלים את הנורמה האוקלידית.

[עריכה] תכונות נוספות

כל מרחב נורמי הוא גם מרחב מטרי, כאשר המטריקה מוגדרת על-ידי $g(x,y)= \| x-y \|$ , ובפרט הוא הופך להיות מרחב טופולוגי. זה מאפשר להגדיר גבול של סדרות: סדרה $\ x_n$ שואפת לגבול $\ L$ אם $\!\, \lim_{n \to \infty}{\| x_n - L \|} = 0$ .
את הנורמה אפשר 'לקרוא' מתוך כדור היחידה שלה. כדור היחידה חייב לחתוך כל קרן היוצאת מהמרכז, להיות סימטרי (לשיקוף $x\mapsto -x$ ), וקמור.