Progresión geométrica

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En matemáticas, una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón de la progresión.

Ejemplo, {1, 2, 4, 8, 16,...} es una progresión geométrica cuya razón vale 2.

La progresión puede representarse de forma recursiva con la siguiente formulación:

a₁ = a₁

a_n = r a_n-1

donde a_n designa al elemento que ocupa el puesto n-ésimo en la progresión y r es la razón o proporción constante entre dos elemento consecutivos.

También puede representarse en forma explícita con la siguiente ecuación:

a_n = a₁r ^n-1

^{El elemento general (a_n) es igual al primer elemento (a₁) multiplicado por la razón (r) elevada a la posición del elemento que se desea averiguar menos 1 (n-1).}

^{Las progresiones geométricas pueden ser:}

^{crecientes, cuando la razón es mayor que 1, por lo que cada término es mayor que el anterior.}
^{decrecientes, cuando la razón es mayor que 0 y menor que 1, por lo que cada término es menor que el anterior.}
^{alternas, cuando la razón es menor que 0, por lo que sus términos se irán alternando entre positivos y negativos.}

Tabla de contenidos

1 Suma de términos de una progresión geométrica
- 1.1 Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
- 1.2 Suma de infinitos términos de una progresión geométrica
2 Véase también

^{[editar] Suma de términos de una progresión geométrica}

^{[editar] Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica}

^{Se denomina como S_n a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:}

^{S_n = a₁ + a₂ + . . . + a_n-1 + a_n}

^{Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.}

^{S_n r = ( a₁ + a₂ + . . . + a_n-1 + a_n ) r}

^{o lo que es lo mismo,}

^{S_n r = a₁ r + a₂ r + . . . + a_n-1 r + a_n r}

^{Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,}

^{S_n r = a₂ + a₃ + . . . + a_n + a_n r}

^{Si se procede a restar de esta igualdad la primera:}

^{S_n r = a₂ + a₃ + . . . + a_n + a_n r}

^{S_n = a₁ + a₂ + . . . + a_n-1 + a_n}

^{_______________________________}

^{S_n r - S_n = - a₁ + a_n r}

^{o lo que es lo mismo,}

^{S_n ( r - 1 ) = a_n r - a₁}

^{Si se despeja S_n,}

^{De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión a_n como}

^{a_n = a₁ r^n-1}

Así, al substituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente:

$S_n = \cfrac { a_1 r^{n-1} r - a_1 } { r - 1 } = \cfrac { a_1 r^n - a_1 } { r - 1 } = \cfrac { a_1 ( r^n - 1 ) } { r - 1 }$

con lo que se obtiene la siguiente igualdad:

$S_n = a_1 \cfrac { r^n - 1 } { r - 1 }$

Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.

[editar] Suma de infinitos términos de una progresión geométrica

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad $| r | < 1$ , la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si $| r | < 1$ , $r^\infty$ tiende hacia 0, de modo que

$S_\infty = a_1 \cfrac { r^\infty - 1 } { r - 1 } = a_1 \cfrac { 0 - 1 } { r - 1 } = \cfrac{a_1}{1 - r}$

En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:

$S_\infty = \cfrac{a_1}{1 - r}$