Geometrische Reihe

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Geometrische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine geometrische Reihe ist die Folge, deren Glieder die Summe der ersten $n$ Glieder (den Partialsummen) einer geometrischen Folge sind.

Inhaltsverzeichnis

1 Berechnung einer Geometrischen Reihe
2 Zahlenbeispiel
3 Anwendungsbeispiel
- 3.1 Rentenrechnung
4 Konvergenz der unendlichen Reihe
5 Herleitung der Formel für die Partialsummen
6 Siehe auch

[Bearbeiten] Berechnung einer Geometrischen Reihe

Es seien $a k$ die Glieder einer geometrischen Folge. Es gilt also $a_k = a_0 \cdot q^k$ , wobei $a 0$ das Anfangsglied und $q$ das Verhältnis zweier benachbarter Glieder ist. Das $n$ -te Glied $s n$ der zu dieser geometrischen Folge gehörigen geometrischen Reihe erhält man nun durch die Bildung der Partialsummen:

$s_n=\sum_{k=0}^{n}a_0 \cdot q^k$

Die Partialsummen lassen sich auch direkt folgendermaßen berechnen (Herleitung siehe unten):

$s_n = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ für $q\neq 1$ und $s_n = (n+1) \cdot a_0$ für $q = 1$ .

Diese Formeln gelten nicht nur, wenn die ${a k} k = 0,1,...$ reelle Zahlen sind, sondern auch allgemeiner, wenn die Folgenglieder Elemente eines Ringes sind. Auch in letzterem Fall muss $q - 1$ invertierbar sein.

[Bearbeiten] Zahlenbeispiel

Gegeben sei die geometrische Folge

$a_0=5,\ a_1=15,\ a_2=45,\ a_3=135,\ \dots$

mit a₀=5 und $q$ =3. Die zugehörige geometrische Reihe ergibt sich zu

$s_0=5=5\frac{3^1-1}{3-1}$

$s_1=5+15=20=5\frac{3^2-1}{3-1}$

$s_2=5+15+45 =65=5\frac{3^3-1}{3-1}$

$s_3=5+15+45+135 =200=5\frac{3^4-1}{3-1}$

usw.

[Bearbeiten] Anwendungsbeispiel

[Bearbeiten] Rentenrechnung

Angenommen, man zahlt am Anfang eines jeden Jahres 2.000 € bei einer Bank ein und die Zinsen liegen bei 5% [d.h. Faktor ist: (100+5)/100 = 1,05]. Wieviel Geld hat man am Ende des fünften Jahres?

Das im ersten Jahr eingezahlte Geld wird fünf Jahre lang verzinst, man erhält dafür am Ende inklusive Zinseszins 2.000 · 1,05⁵ €. Das im zweiten Jahr eingezahlte Geld wird nur noch vier Jahre verzinst und so weiter. Insgesamt ergibt sich dann ein angesparter Betrag von

$2.000 \cdot 1,05^5 + 2.000 \cdot 1{,}05^4 + 2.000 \cdot 1{,}05^3 + 2.000 \cdot 1{,}05^2 + 2.000 \cdot 1{,}05^1$

= $2.000 \cdot 1{,}05 \cdot ( 1{,}05^4 + 1{,}05^3 + 1{,}05^2 + 1{,}05^1 + 1{,}05^0)$

= $2.000 \cdot 1{,}05 \cdot \sum_{k=0}^{4} 1{,}05^k$

= $2.000 \cdot 1{,}05 \cdot \frac{1{,}05^{4+1}-1}{1{,}05-1}$

= $2.000 \cdot 1{,}05 \cdot \frac{1{,}05^5-1}{0{,}05}$

= $11.603{,}80\,$

Durch Zinsen hat sich das Kapital somit um 1.603,80 € erhöht. Zum Vergleich: Würde man 10.000 € über 5 Jahre bei 5% Zinsen anlegen, so wäre der Endbetrag

$10.000 \cdot 1,05^5$

= $12762{,}80\,$

(also ein Gewinn von 2.762,80 €)

[Bearbeiten] Konvergenz der unendlichen Reihe

Eine (unendliche) geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn der Betrag der reellen (oder komplexen) Zahl $q$ kleiner als 1 ist. Der Wert der Reihe ergibt sich aus der obenstehenden Formel für endliche geometrische Reihen durch Grenzwertbildung ( $n \to \infty$ ) zu

$\sum_{k=0}^{\infty} a_0 \cdot q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 \cdot q^k = \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = a_0\frac{1}{1-q}$

für $| q | < 1$ .

Die letzte Formel ist sogar in jeder Banach-Algebra gültig, solange die Norm von $q$ kleiner als 1 ist; im Kontext linearer Operatoren spricht man auch von der Neumann-Reihe.

[Bearbeiten] Herleitung der Formel für die Partialsummen

Die Partialsumme der geometrischen Reihe lässt sich wie folgt berechnen:

$s_n = \sum_{k=0}^n a \cdot q^k = a + a \cdot q + a \cdot q^2 + \dots + a q^n = a (1 + q + q^2 + \dots + q^n)$

Vereinfacht:

$s_n = a (1 + q + q^2 + \dots + q^n)$ (Gleichung 1)

Durch Multiplikation mit $q$ ergibt sich:

$q \cdot s_n = a (q + q^2 + q^3 + \dots + q^{n+1})$ (Gleichung 2)

Wenn man beide voneinander subtrahiert (Gleichung $1 - 2$ ) erhält man:

$s_n - q \cdot s_n = a (1 - q^{n+1})$

Ausklammern von $s n$ :

$s_n (1-q) = a (1 - q^{n+1}) \$

Teilen durch (1-q):

$s_n = {{a (1 - q^{n+1})} \over {1 - q}}$

(Bezug zur Formel im ersten Teil: Setze $a 0 = a$ in der obigen Darstellung für $s n$ ein und erweitere für die zweite Gleichung den Bruch mit -1; dann ergibt sich dasselbe Resultat)

Davon wird nun der Grenzwert gebildet:

Für $| q | < 1$ geht $q$ mit steigender Potenz gegen 0 und die geometrische Reihe konvergiert. Ist dagegen $|q|\ge1$ so divergiert sie.

In ersterem Fall ist also

$\lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \sum_{k=0}^\infty a q^k = \lim_{k \to \infty} a{{ (1 - q^{k+1})} \over {1 - q}} = a{{ (1 - 0)} \over {1 - q}} = a \cdot {1 \over {1 - q}}$

[Bearbeiten] Siehe auch

Die Konvergenz bzw. Divergenz der geometrischen Reihe ist die Grundlage für das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium.
Beispiel für praktische Folge einer unendlichen geometrischen Reihe: Wert eines Goldesels
Geometrische Verteilung

Von „http://de.wikipedia.org../../../g/e/o/Geometrische_Reihe_3958.html“

Kategorie: Folgen und Reihen