Serie de Laurent

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En matemáticas, la serie de Laurent de una función compleja f(z) es la representación de la misma función en la forma de una serie de potencias, la cual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar. La serie de Laurent fue descubierta por Karl Weierstrass en el año de 1841; pero no se divulgó en ese entonces. El matemático Pierre Alphonse Laurent fue quien la publicó en el año 1843.

[editar] Definición

Una serie de Laurent centrada alrededor de un punto $c$ es una serie de la forma $\sum_{k=-\infty}^\infty c_k (z-a)^k$ donde $c_k, a, z \in \mathbb{C}$ .

Podemos demostrar que esta serie es convergente dentro del conjunto (posiblemente nulo, Ø): $D := \{z \in \mathbb{C} \mid R_1 < |z-a| < R_2 \}$ $R_1 := \limsup_{k \rightarrow\infty} |c_{-k}|^{1/k}$ donde y $R_2 := 1/\left(\limsup_{k \rightarrow\infty} |c_{k}|^{1/k}\right).$

Toda serie de Laurent tiene vinculada una función de la forma $f(z) := \sum_{k=-\infty}^\infty c_k (z-a)^k,$ cuyo dominio es el conjunto de puntos en $\mathbb{C}$ sobre el cual es convergente. Esta función es analítica dentro de una corona $D$ ; inversamente, toda función en una corona es igual a una única serie de Laurent.

Los coeficientes de una serie de Laurent en una función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy (la sucesión de constantes están definidas por un camino de integración en la generalización de la integral de Cauchy).

Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular c y un camino de integración γ. El camino de integración debe estar dentro de un disco donde f(z) es una función holomorfa (también llamada función analítica).

La serie de Laurent es muy importante en el análisis complejo, especialmente para investigar el comportamiento de funciones cerca de singularidades.

Si suponemos : $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n ( z - c )^n$ es una serie de Laurent con coeficientes a_n y un centro complejo c. Entonces existe un radio interior r y un radio exterior R de tal forma que

La serie de Laurent es convergente en la corona abierta A := {z : r < |z − c| < R}, tanto para potencias de grado positivo como para potencias de grado negativo y esta convergencia define una función holomorfa f(z) en la corona abierta.