Ühisosa

Allikas: Vikipeedia

Venni diagramm: hulkade A ja B ühisosa A ∩ B

Kahe hulga A ja B ühisosa ehk lõige on matemaatikas hulk, mille elementideks on kõik need ja ainult need hulga A elemendid, mis on ühtlasi hulga B elemendid.

Hulkade A ja B ühisosa tähis on "A ∩ B".

Sisukord

1 Formaalne definitsioon
2 Näited
3 Rohkem kui kahe hulga ühisosa
4 Hulkade kogumi ühisosa
5 Vaata ka

[redigeeri] Formaalne definitsioon

x on hulga A ∩ B element siis ja ainult siis, kui

x on hulga A element ja
x on hulga B element.

[redigeeri] Näited

Näiteks hulkade {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} lõige on {2, 3}.

Arv 9 ei ole algarvude hulga {2, 3, 5, 7, 11, ...} ja positiivsete paaritute arvude hulga
{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} ühisosa element.

[redigeeri] Rohkem kui kahe hulga ühisosa

Võib vaadelda ka rohkem kui kahe hulga ühisosa.

Näiteks hulkade A, B, C ja D ühisosa ehk lõige

A ∩ B ∩ C ∩ D = A ∩ (B ∩ (C ∩ D)).

Ühisosa võtmine on assotsiatiivne tehe:

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

[redigeeri] Hulkade kogumi ühisosa

Kõige üldisem on suvalise mittetühja hulkade kogumi mõiste.

Kui M on mittetühi hulk, mille elemendid on ise hulgad, siis x on hulga M lõige ehk ühisosa siis ja ainult siis, kui hulga M iga iga elemendi A korral x on hulga A element.

Sümbolites:

$x \in \cap \mathbf{M} \leftrightarrow \forall A \in \mathbf{M} \quad x \in A$

Ülalesitatud ühisosamõisted on selle mõiste erijuhud. Näiteks A ∩ B ∩ C on kogumi {A, B, C} lõige.

(Mõnikord räägitakse lõikest ehk ühisosast ka juhul, kui M on tühi hulk; vaata artiklit Nullaarne lõige.)

Hulga lõike jaoks kasutatakse erinevaid tähistusi.

Hulgateoreetikud kirjutavad lihtsalt "∩M", kuid enamasti kirjutatakse selleasemel "∩_A∈MA".

Analoogiliselt võib kirjutada "∩_i∈I A_i", pidades silmas kogumi {A_i : i ∈ I} lõiget. Hulk I on siin mittetühi hulk ja iga i korral hulgast I on A_i mingi hulk.

Kui indeksihulk I on naturaalarvude hulk, võib kohata tähistust, mis sarnaneb lõpmatute jadade korral kasutatava tähistusega:

$\cap_{i=1}^{\infty} A_i$

Kui sellise tähistuse kasutamine on tehniliselt raske, siis võidakse selleasemel kirjutada "A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ ...", kuigi rangelt võttes on A₁ ∩ (A₂ ∩ (A₃ ∩ ... mõttetu avaldis.