Nullelement
Allikas: Vikipeedia
Nullelemendiks nimetatakse algebras arvule 0 omadustelt sarnast elementi, kusjuures täpne tähendus oleneb kontekstist.
Sisukord |
[redigeeri] Multiplikatiivne nullelement
Olgu antud mingi binaarne tehe * hulgal H. Siis nimetatakse (multiplikatiivseks) nullelemendiks hulga H elementi n, mille puhul hulga H mis tahes elemendi a korral kehtivad võrdused
- (1) n*a=n
ja
- (2) a*n=n.
[redigeeri] Nullelemendi ainsus
Teoreem. Kui nullelement eksisteerib, siis ta on ainus.
Tõestus. Olgu meil kaks nullelementi n ja N. Siis võrduse (1) põhjal
- n*N=n
ja võrduse (2) põhjal
- n*N=N.
Järelikult
- n=N,
nii et nullelemendid langevad kokku.
[redigeeri] Aditiivne nullelement
Liitmise ning mis tahes aditiivselt tähistatud binaarse tehte puhul nimetatakse nullelemendiks ühikelementi ehk neutraalset elementi 0, st (ainsat) elementi, mille puhul hulga mis tahes elemendi a korral kehtivad võrdused
- 0+a=a
ja
- a+0=a.
Tavaliselt eeldatakse sel puhul, et vaadeldav binaarne tehe on kommutatiivne.
[redigeeri] Ringi nullelement
Ringi nullelemendiks nimetatakse ringi liitmistehte ühikelementi ehk neutraalset elementi (aditiivset nullelementi). Et ringi elemendid moodustavad liitmise suhtes rühma, siis ringil alati eksisteerib (ainus) nullelement 0.
[redigeeri] Multiplikatiivse ja aditiivse nullelemendi kokkulangemine ringis
Teoreem. Ringi nullelement 0 on ühtlasi multiplikatiivne nullelement korrutamise suhtes.
Tõestus. On tarvis näidata, et ringi mis tahes elemendi a korral kehtivad võrdused
- 0a=0
ja
- a0=0.
Et ringi elemendid moodustavad liitmise suhtes rühma, siis kehtib
- 0=a+(–a).
Seega, arvestades distributiivsust,
- 0a=(a+(–a))a=aa+(–aa)=0
ja
- a0=a=(a+(–a))=aa+(–aa)=0.
[redigeeri] Võre nullelement
Võre nullelemendiks nimetatakse selle võre vähimat elementi. Vähim element on võre ühenditehte multiplikatiivne nullelement.
