توزیع نرمال

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

توزیع نرمال یا توزیع گوسی (یا گاوسی) یکی از توزیع‌های احتمالاتی‌ی پیوسته‌ی مهم است. این توزیع با بردار میانگین و ماتریس کواریانس آن توصیف می‌شود. توزیع نرمال استاندارد توزیعی با میانگین صفر و ماتریس کواریانس واحد است (خط سبز کشیده شده در نمودار برای حالت تک‌بعدی). به علت شباهت این شکل به زنگوله به آن انحنای زنگوله‌ای نیز گفته می‌شود.

دلیل اهمیت توزیع نرمال از وجود قضیه حد مرکزی ناشی می‌شود. این قضیه می‌گوید که هنگامی که تعداد بسیار زیادی متغیر تصادفی با توزیع دل‌خواه (و البته با واریانس محدود) را با هم جمع کنیم و میانگین بگیریم، توزیع نهایی به توزیع نرمال میل می‌کند. به همین خاطر هنگامی که شاهد تاثیر جمعی‌ی بسیاری از پدیده‌های تصادفی هستیم، نتیجه‌ی نهایی با توزیع نرمال قابل توصیف است.

**Normal**
تابع چگالی احتمال خط سبز: توزیع نرمال استاندارد
تابع توزیع تجمعی رنگ‌ها با پی‌دی‌اف بالا همخوانی دارند
پارامترها	$μ$ مکان (حقیقی) $σ 2 > 0$ یه توان دو مقیاس (حقیقی)
دامنه	$x \in (-\infty;+\infty)\!$
الگو:توزیع احتمالی/پیوندچگالی	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
پی‌دی‌اف	$\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
میانگین	$μ$
میانه	$μ$
مُد	$μ$
واریانس	$σ 2$
چولگی	0
کشیدگی	0
انتروپی	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
ام‌جی‌اف	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
تابع مشخصه	$\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$