정규 분포

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**정규분포**
확률밀도함수 초록색이 표준정규분포
누적분포함수 확률밀도함수의 색과 같은색으로 표시함
매개변수	$μ$ location (real) $σ 2 > 0$ squared scale (real)
받침	$x \in (-\infty;+\infty)\!$
pdf	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
cdf	$\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
기대값	$μ$
중앙값	$μ$
최빈값	$μ$
분산	$σ 2$
왜도	0
첨도	0
엔트로피	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
mgf	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
특성함수	$\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$

정규 분포(正規分布)는 많은 분야에 적용되는 매우 중요한 연속 분포의 하나이다. 가우스 분포라고도 한다.

정규 분포는 단일 확률 분포가 아니라 2개의 모수(매개 변수)에 따라 위치와 척도가 각각 달라지는 동일한 형상의 분포들을 아울러 이른다. 정규 분포의 모수는 평균 $m$ 과 표준 편차 $σ$ 이다. 이를 $N(m,σ 2)$ 로 적는다. 평균이 0, 표준편차가 1인 정규 분포를 표준 정규 분포라고 한다.

[편집] 역사

정규 분포는 드무아브르가 1733년 쓴 글에서 특정 이항 분포의 $n$ 이 클 때 그 분포의 근사치를 계산하는 것과 관련하여 처음 소개되었고 이 글은 그의 저서 《우연의 교의》 2판(1738년)에 다시 실렸다. 라플라스는 그의 저서 《확률론의 해석이론》(1812년)에서 이 결과를 확장하였고 이는 오늘날 드무아브르-라플라스의 정리로 알려져있다.

라플라스는 실험 오차를 분석하면서 정규 분포를 사용했다. 1805년에는 르장드르가 매우 중요한 방법인 최소 제곱법을 도입했다. 가우스는 이 방법을 1794년부터 사용해왔다고 주장했는데 1809년에는 실험 오차가 정규 분포를 따른다는 가정하에 최소 제곱법을 이론적으로 엄밀히 정당화했다.

이 분포가 최초의 발견자 이름을 따지 않고 가우스 분포로 불리는 것은 과학적 발견은 그 최초 발견자의 이름을 따지 않는다는 스티글러의 명명법칙의 한 예이다.