Lineaarikuvaus

Wikipedia

Funktio $f: A \to B$ on lineaarikuvaus, jos se toteuttaa ehdot

$f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = f(\mathbf{x}) + f(\mathbf{y})\,$ ja
$f(a\mathbf{x}) = af(\mathbf{x})\,$

tai yhdistettynä yhdeksi ehdoksi, riittää, että

$f(a \mathbf{x} + b \mathbf{y}) = a f(\mathbf{x}) + b f(\mathbf{y})\,$ ,

kun $x, y \in A$ , $a, b \in R$ ja $A$ on vektoriavaruus. Tällöin sanotaan myös, että funktio f on lineaarinen. Erityisesti lineaarikuvaukselle selvästi pätee $f(\bold{0}) = \bold{0}$ . Huomaa, että lineaarikuvauksen argumentin ei tarvitse olla vektori, riittää, että se on jonkin lineaariavaruuden alkio. Vektoriavaruus voi olla myös kompleksinen, jolloin kertoimet $a, b$ ovat kompleksilukuja.

Lineaarikuvauksen derivaatta on vakio. Tästä seuraa:

$f(x_2) - f(x_1) = f(x_2+h) - f(x_1+h) \,$

Sisällysluettelo

1 Lineaarikuvaukset ja matriisit
2 Esimerkki lineaarikuvauksesta
3 Lineaarikuvauksen nolla- ja kuva-avaruus
4 Katso myös

[muokkaa] Lineaarikuvaukset ja matriisit

Jokainen (äärellisulottuvuinen) lineaarikuvaus voidaan esittää matriisina, jonka sarakkeiden määrä on lähtöavaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien määrä maaliavaruuden vektorien ulottuvuus. Jos lähtö- ja maaliavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi eli sillä on yhtä monta riviä kuin saraketta. Tällöin ja vain tällöin saattaa olla olemassa lineaarikuvauksen käänteisfunktio, jota vastaa matriisin käänteismatriisi. Lineaarikuvaus muodostetaan matriisista kertomalla vektori kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla. Esimerkiksi kierrot ja siirrot koordinaatistossa ovat lineaarikuvauksia ja niitä on helppo tehdä vastaavien matriisien avulla.

[muokkaa] Esimerkki lineaarikuvauksesta

Tarkastellaan kuvausta $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x \,$ . Nyt

$f(x + y) = x + y = f(x) + f(y) \,$ ja
$f(cx) = cx = cf(x) \,$

eli kuvaus f toteuttaa ehdot 1 ja 2 ja on siis lineaarikuvaus. Sen sijaan kuvaus $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = x + 1$ antaa tulokseksi

$g(x + y) = x + y +1 = g(x) + g(y) -1\,$
$g(cx) = cx + 1 = cg(x) + 1 - c\,$

Huomataan, että lineaarikuvauksen ehdot eivät toteudu kuvaukselle g, eikä se siis ole lineaarinen, vaikka kuvaukset f ja g ovat hyvin samanlaiset.

Huomataan myös helposti, että ainakin reaalisissa tapauksissa, joissa funktio on kuvaus $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ehdosta 2 seuraa ehto 1. Jos oletetaan ehdon 2 pätevän ja $y = c x$ (kaikki $y$ :t voidaan esittää näin, jos oletetaan, että $x$ poikkeaa nollasta), saadaan

$f (x + y) = f (x + c x) = f ((1 + c) x) = (1 + c) f (x) = f (x) + c f (x) = f (x) + f (c x) = f (x) + f (y)$

Jos x = 0, niin ehto 1 seuraa triviaalisti

$f (x + y) = f (y) = f (y) + 0 = f (y) + f (0) = f (y) + f (x)$

Tässä hyödynnettiin ehdosta 2 johdettua tietoa, että nolla-alkio kuvautuu nolla-alkioksi. $\square$ .

[muokkaa] Lineaarikuvauksen nolla- ja kuva-avaruus

Lineaarikuvaus $t:A\rightarrow B$ määrää määrittelyjoukkoonsa nolla-avaruuden eli ytimen

$\mathrm{Ker}(t) = \{\mathbf{x}\in A: t(\mathbf{x})=\mathbf{0}\}$ .

Jos alkiot $x, y$ kuvautuvat kuva-avaruuden nolla-alkioksi, niiden mielivaltainen kombinaatio kuvautuu myös nolla-alkioksi lineaarisuuden aksioomien vuoksi:

$t(ax+by) = t(ax)+t(by) = at(x) +bt(y) = 0\,$ .

Kyseessä on siis eräs määrittelyjoukon aliavaruus. Kyseessä on algebran ydin-käsitteen erikoistapaus. Samaan tapaan muodostuu kuvauksen kuva-avaruus

$\mathrm{Im}(t)=\{x\in B: x = t(y)$ , jollakin $y\in A \}$ .

Kyseessä on taaskin avaruus, koska kahden kuvan mielivaltaiselle kombinaatiolle löytyy ainakin yksi alkukuva, joka on siis $A$ :n alkio, jolloin kombinaatio on kuva-avaruuden alkio. Tämä on erikoistapaus kuvaryhmästä. Lineaarikuvauksen ytimen ja kuva-avaruuden dimensioiden välille voidaan osoittaa tärkeä tulos, joka tunnetaan aste-nullitettilauseena:

$\dim(\mathrm{Ker}(t)) + \dim(\mathrm{Im}(t)) = \dim(V)$