Линейное отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Лине́йным отображе́нием (лине́йным опера́тором) векторного пространства $L K$ над полем $K$ в векторное пространство $M K$ (над тем же полем $K$ ) называется отображение

$f:\,L_K\to M_K$ ,

удовлетворяющее условию линейности

$\,\! f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)$ .

для всех $x,y\in L_K$ и $\alpha,\beta\in K$ .

[править] Важные частные случаи

Линейный функционал — линейный оператор, для которого $\,\! M = K$ :
$f:\, L_K\to K$

Эндоморфизм — линейный оператор, для которого $\,\! L = M$ :
$f:\, L_K\to L_K$

Тождественный оператор — оператор $x \mapsto x$ , отображающий каждый элемент пространства в себя.

Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент $L K$ в нулевой элемент $M K$ .

[править] Связанные понятия

Ядром линейного отображения $f:\, A\to B$ называются подмножество A, которое отображается в нуль:

$\mbox{Ker} f = \{ x\in A: f(x) = 0 \}$

Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве А.

Образом линейного отображения f называется следующее подмножество B:

$\mbox{Im} f = \{ f(x)\in B: x \in A \}$

Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве B.

Отображение $f:\, A\times B \to C$ прямого произведения линейных пространств A и B в линейное пространство C называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств $f:\, A_1\times A_2\times...\times A_n \to B$ называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.