Static Wikipedia February 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Web Analytics
Cookie Policy Terms and Conditions Raja-arvo – Wikipedia

Raja-arvo

Wikipedia

Matematiikassa raja-arvo kuvaa funktion käyttäytymistä, kun sen muuttuja lähestyy tiettyä pistettä tai ääretöntä, tai lukujonon käyttäytymistä, kun sen indeksi lähestyy ääretöntä. Raja-arvoa käytetään matemaattisessa analyysissä määrittämään jatkuvuutta, integroituvuutta ja derivoituvuutta.

Sisällysluettelo

[muokkaa] Funktion f:A \rightarrow \mathbb{R} raja-arvo pisteessä c

Funktiolla on raja-arvo pisteessä c, mikäli se ei heilahtele pahasti pisteen c lähistöllä. Täsmällisemmin reaaliarvoisella reaalimuuttujan funktiolla f sanotaan olevan raja-arvo L pisteessä c, jos kaikilla ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että

| f(x) − L | < ε aina kun 0 < | xc | < δ.

Formaalisti edellä oleva ehto voidaan kirjoittaa muodossa

\forall {\epsilon>0} \, \exists {\delta>0} : 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon,

Mikäli raja-arvo on olemassa, sitä merkitään

\lim_{x \to c}f(x) = L (luetaan limes x lähestyy c:tä f x on L)

tai

f(x) \to L, kun x \to c (luetaan f x lähestyy L:ä, kun x lähestyy c:tä)

Esimerkiksi funktion f(x) = 2x raja-arvo kohdassa x = 3 on 6 (f(x)=2x lähestyy lukua 6, kun x lähestyy lukua 3.

Raja-arvon olemassaolo vaatii, että funktion tulee olla määritelty pisteen x lähistöllä, mutta ei välttämättä pisteessä x.

[muokkaa] Epäoleelliset raja-arvot

Raja-arvoa kutsutaan epäoleelliseksi, kun funktion f(x) muuttuja x käy äärettömyyteen \infty (tai -\infty) tai kun funktion f(x) raja-arvo tietyssä pisteessä c on \infty (tai -\infty).

[muokkaa] Ääretön raja-arvo

Jos funktio f on määritelty pisteen c ympärillä ja sillä on pisteessä c raja-arvo \infty, merkitään

\lim_{x \to c}f(x) = \infty .

Näin ollen esimerkiksi funktion f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}, jota ei ole määritelty pisteessä x = 1, raja-arvoksi saadaan \infty, kun x \to 1:

\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = \infty .

[muokkaa] Raja-arvo äärettömyydessä

Jos funktio f(x) on määritelty välillä (c,\infty), sillä on äärettömyydessä raja-arvo L jos \forall \epsilon >0 \,\exists x_0\in (c,\infty):|f(x)-L|<\epsilon kun x > x0. Tällöin merkitään

\lim_{x \to \infty} f(x) = L.

Esimerkiksi funktion f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x - 10} raja-arvo on 1, kun x lähestyy (positiivista) äärettömyyttä: Jos nimittäin on annettu ε > 0, niin valitsemalla x>\frac{10+10\epsilon}{\epsilon} saadaan seuraavat yhtäpitävät epäyhtälöt: x>\frac{10+10\epsilon}{\epsilon}\Leftrightarrow \epsilon x >10+10\epsilon\Leftrightarrow \frac{10}{x-10}<\epsilon\Leftrightarrow \frac{x}{x-10}-\frac{x-10}{x-10}< \epsilon\Leftrightarrow \frac{x}{x-10}-1< \epsilon\Leftrightarrow | \frac{x}{x-10}-1 |< \epsilon, joten väite seuraa raja-arvon määritelmästä.

[muokkaa] Toispuoleiset epäoleelliset raja-arvot

Epäoleellinen raja-arvo voidaan laskea myös toispuoleisesti. Tällöin funktion f(x) muuttuja x käy kohti pistettä c vain positiivisesta ("oikealta") tai negatiivisesta ("vasemmalta") suunnasta. Merkitään

\lim_{x \to c+}f(x) = L ja \lim_{x \to c-}f(x) = L .

Esimerkiksi funktio f(x) = \frac{1}{x} saa eri raja-arvot riippuen siitä lähestytäänkö pistettä 0 negatiivisesta vai positiivisesta suunnasta:

\lim_{x \to 0-} \frac{1}{x} = -\infty ja \lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = \infty .

On huomattava, että funktion f(x) = \frac{1}{x} raja-arvoa ei voida määritellä ilman toispuoleista lähestymistä, eli \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ne \infty.

[muokkaa] Lukujonot ja -sarjat

Lukujonon (x_n\,\!) raja-arvo on sellainen luku L, että kaikilla ε > 0 on olemassa n_0\in \mathbb{N} siten, että | xnL | < ε, kun n > n0. Lukujonon (x_n)\,\! raja-arvo L merkitään

\lim(x_n) = L .

Kun lukujonolla on olemassa raja-arvo, sen sanotaan suppenevan. Lukujono, joka ei suppene, hajaantuu.

Esimerkiksi lukujono (1-0.1^n) = 0,9; 0,99; 0,999..., 1-0,1^n;... \,\! suppenee: se lähestyy lukua 1 ja sen raja-arvo merkitään \lim(1-0.1^n) = 1 .

Suppeneville lukujonoille a_n \,\! ja b_n \,\! pätevät seuraavat tulokset:

  • \lim(a_n \pm b_n) = \lim a_n \pm \lim b_n
  • \lim(a_n b_n) = \lim a_n \lim b_n
  • \lim\left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{\lim a_n}{\lim b_n} , jos \lim b_n \ne 0 \wedge b_n \ne 0 \, \forall n.
Static Wikipedia 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2006 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu