Täydellinen neliö

Wikipedia

Täydellinen neliö on matematiikan termi ja sillä on kaksi erimerkitystä.

kokonaisluku, joka on jonkin toisen kokonaisluvun neliö eli muotoa n²
- Esimerkkejä: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... (Katso neliöluku).
algebran lauseke, joka voidaan jakaa osiin jonkin toisen lausekkeen neliönä
- Esimerkki: a² ± 2ab + b² = (a ± b)². (Katso Neliö (algebra)).

Sisällysluettelo

1 Neliöiden erotusten käyttäminenen kertolaskuissa
2 Täydellisen neliön viimeinen numero 10-kantajärjestelmässä
3 Trivia: alle 10000 olevien täydellisten neliöiden neliöjuuren määrittäminen1
4 Katso myös
5 Aiheesta muualla

[muokkaa] Neliöiden erotusten käyttäminenen kertolaskuissa

Kaikki kokonaislukujen kertolaskut voidaan tehdä kahden neliön erotuksilla.

Esimerkkejä:

$10\times 10 = (10-0)\times (10+0) = 10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100$
$9\times 11 = (10-1)\times (10+1) = 10^2 - 1^2 = 100 - 1 = 99$
$8\times 12 = (10-2)\times (10+2) = 10^2 - 2^2 = 100 - 4 = 96$
$7\times 13 = (10-3)\times (10+3) = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91$

Yleisesti pätee siis: kahden kokonaisluvun tulo on yhtä suuri kuin niiden kahdella jaetun summan neliö miinus niiden kahdella jaetun erotuksen neliö.

$A\times B = [(A+B)/2]^2 - [(A-B)/2]^2$

Geometrinen konstruktio "todistus" on alla olevassa animaatioss.

Nelikulmio on A kertaa B. Suuremman neliön sivu on (A+B)/2, ja pienemmän harmaan sivun pituus on |A-B|/2.

Tätä relaatiota käytten voi kertoa kaksi toisiaam melko lähellä olevaa kokonaislukua nopeasti, kun muistaa suhteellisen pieniä neliöitä.

Jos kerrot parittomalla luvulla voit silti vällää "puolikkaat" yhtä numeroa pienetämällä ja lisäämällä yhden.

$A\times B = A\times (B-1) + A$

Esimerkki:

$27\times 34 = [27\times 33] + 27 = [30^2 - 3^2] + 27 = 900 - 9 + 27 = 918$

[muokkaa] Täydellisen neliön viimeinen numero 10-kantajärjestelmässä

Kymmenjärjestelmässä minkä tahansa täydellisen neliön viimeinen numero on joko 0, 1, 4, 5, 6, or 9. Jos tiedät numeron olevan täydellinen neliö sillöin voit määrittää sen neliöjuuren viimeisen luvun.

Jos täydellisen luvun viimeinen numero on 0 silloin neliöjuuren viimeinen numero on 0.
Jos täydellisen luvun viimeinen numero on 1 silloin neliöjuuren viimeinen numero on 1 tai 9.
Jos täydellisen luvun viimeinen numero on 4 silloin neliöjuuren viimeinen numero on 2 tai 8.
Jos täydellisen luvun viimeinen numero on 5 silloin neliöjuuren viimeinen numero on 5.
Jos täydellisen luvun viimeinen numero on 6 silloin neliöjuuren viimeinen numero on 4 tai 6.
Jos täydellisen luvun viimeinen numero on 9 silloin neliöjuuren viimeinen numero on 3 tai 7.

[muokkaa] Trivia: alle 10000 olevien täydellisten neliöiden neliöjuuren määrittäminen1

Oleta että sinulle on annettu täydellinen neliö, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin 100 mutta vähemmän, kuin 10000. Kaikkilla näillä täydellisillä neliöillä on kaksi numeroiset neliöjuuret. On olemassa yksinkertainen tapa määrittää neliöjuuuri yhdellä tai kahdella arvauksella.

Ensiksi erota numerot pareiksi oikealta alkaen liikkuen vasemmalle. Esimerkiksi: 1600 tulee 46|24

Toiseksi etsimme neliöjuuren ensimmäisen numeron. Jos vasemman puoleisin pari on täydellinen neliö etsi sen neliöjuuri. Jos vasemman puoleisin pari ei ole täydellinen neliö, etsi suurin vasemman puoleisinta paria pienempi täydellinen neliö. Tämä nelöjuuri on on neliöjuuren vasemmaisin numero. Esimerkiksi: 46|24 vasemmaisin pari on 46, mikä ei ole täydellinen neliö. Suurin 46 pienempi täydellinen neliö 36 ja sen neliöjuuri on 6.

Kolmanneksi kuten aiemmin mainittiin, jos tiedämme täydellisen neliön viimeisen numeron kymmenkannassa tiedämme myös sen neliöjuuren viimeisen numeron kahdella arvauksella. Täten tiedämme, että 4624 neliöjuuren viimeinen numero on joko 2 tai 8.

Neljänneksi voimme arvata neliöjuuren yhdistämällä vaiheet kaksi ja kolme. 4624 neliöjuuri on 62 tai 68.