Équivalence logique
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En logique, deux propositions P et Q sont logiquement équivalentes ou équivalentes si P et Q ont simultanément même valeur de vérité; c'est-à-dire que P et Q sont vraies (resp. fausses), dans exactement les mêmes situations. On écrit
-
- « P Q »
qui se lit
-
- « P est vraie si et seulement si Q est vraie »
« » est le connecteur d’équivalence dont la table de vérité est donnée ci-dessous :
P | Q | P Q |
Vrai | Vrai | Vrai |
Vrai | Faux | Faux |
Faux | Vrai | Faux |
Faux | Faux | Vrai |
L’équivalence P Q n’est autre que (P Q) (Q P) ((P implique Q) et (Q implique P)) .
Autrement dit, deux propositions P et Q sont équivalentes si et seulement si chacune d’entre elles implique l’autre.
Dans ce cas, les propositions « P Q » et « Q P » sont dites réciproques l’une de l’autre.
Pour démontrer, une équivalence P Q, il faut donc démontrer l’implication P Q et sa réciproque.
On remarque que (P Q) (Q P)
Dans le langage naturel, pour traduire que deux propositions P et Q sont équivalentes, on dira indifféremment :
- P est vraie si et seulement si Q est vraie.
- Pour que P soit vraie, il faut et il suffit que Q soit vraie.
- Une condition nécessaire et suffisante pour que P soit vraie est que Q soit vraie (ou cns).
- La vérité de P est une condition nécessaire et suffisante pour que Q soit vraie.
- P équivaut à Q.
D’autres expressions « ou encore », « ou » (mais pas le connecteur logique ou), « soit » peuvent traduire une équivalence comme dans l’exemple suivant :
-
- Pour tout réel x, x2=x équivaut à x2-x=0 soit x(x-1)=0 ou encore ((x=0) ou (x=1))
Ici, « soit » (XOR) ne sert pas à définir un objet, et le dernier « ou » est un ou logique (OR).
Certains auteurs utilisent l’abréviation ssi pour écrire des équivalences.
[modifier] Propriétés
- P P (l'équivalence est réflexive)
- (P Q) (Q P) (l'équivalence est symétrique)
- (P Q) (Q R) (P R) (l’équivalence est transitive)
Ces trois lois montrent que l'équivalence logique est une relation d'équivalence
- ¬¬P ⇔ P (Dans la logique classique, ceci équivaut au principe du tiers exclu)
- (P ⇔ Q) ⇔ (¬ P ⇔ ¬Q) (contraposition)
Exemples
- On a
- L’équivalence ∀x, y∈ℝ (x=y ⇔ x2=y2) (en élevant au carré) est fausse parce que par exemple 22=(-2)2 n’implique pas 2=-2
- L’équivalence suivante est vraie
-
- (en élevant au carré)
En élevant au carré, on perd l’information que x-1 est supérieur à une racine carrée et doit être positif et pour avoir l’équivalence, on rajoute la propriété x-1>=0.
Remarques :
Démontrer par équivalence n’est pas toujours simple ; dans certains cas, il est préférable de démontrer séparément les implications réciproques.
Dire que l’équivalence P ⇔ Q est vraie ne veut pas dire que P et Q sont vraies, mais que si l’une d’entre elles est vraie (resp. fausse), l’autre aussi.
[modifier] Équivalence entre plusieurs propositions
Soit trois propositions P, Q et R.
Pour démontrer les équivalences P ⇔ Q ⇔ R, il suffit de démontrer les implications :
-
- P ⇒ Q, Q ⇒ R et R ⇒ P.
Soit les implications P ⇒ Q, Q ⇒ R et R ⇒ P établies.
Pour démontrer que Q ⇒ P, on utilise Q ⇒ R et R ⇒ P.
Pour démontrer que R ⇒ Q, on utilise R ⇒ P et P ⇒ Q.
Et enfin pour démontrer que P ⇒ R, on utilise P ⇒ Q et Q ⇒ R.
Ce type de démonstration s’appelle une démonstration « circulaire » ou « en cercle ».
On peut généraliser à n propositions P1, P2… Pn.
Pour démontrer les équivalences P1 ⇔ P2 ⇔… ⇔ Pn, il suffit de démontrer les implications :
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- P1 ⇒ P2, P2 ⇒ P3… Pn-1 ⇒ Pn et Pn ⇒ P1.
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