当且仅当
维基百科，自由的百科全书
当且仅当(英文：If and only if, 或者：Iff)，或称若且唯若，在数学、哲学、逻辑学以及其他一些技术性领域中被用来表示“在，并且仅仅在这些条件成立的时候”的缩写，在英语中的对应标记为Iff。虽然“P当且仅当Q”是一个标准用法，但是公认的其他同样说法还有“P是Q的充分必要条件为”，或者“P成立，正当Q”。
目录 |
[编辑] 当且仅当
[编辑] 标记
与此相对应的逻辑符号是
和
。这两个通常被当作是相等的。但是，一些数学教科书，特别是那些关于一阶逻辑而非命题逻辑对此有所区别，在那里前者被用来表示逻辑公式，后者表示那些公式的推理（譬如说在元逻辑中）。
[编辑] 证明
在证明“P当且仅当Q”时，这相当于去同时证明陈述“如果P成立，则Q成立”和“如果Q成立，则P成立”。另外，也可以证明“如果P成立，则Q成立”和“如果P不成立，则Q不成立”，后者作为对偶，等价于“如果Q成立，则P成立”。
[编辑] 有关英语缩写Iff的开端
在出版物中，英语Iff的表示标记最早出现在约翰·凯利的《一般拓扑学》中。它的发明通常被认为是归于数学家保罗·哈尔莫斯，但在哈尔莫斯的自传中却声明他只是借用了。
[编辑] 当与当且仅当的不同
简单地，如下的两个例子可以说明这两者的不同：
第1句只是说小王会吃香草口味的冰淇淋。但是这没有并没有排除他还会吃草莓口味冰淇淋的可能性。可能他会吃，可能不会。这个句子并没有告诉我们。我们所能够肯定的是他不会拒绝香草口味的冰淇淋。
但是第2句阐述的非常明确，就是小王会吃并且只吃香草口味的。他不会吃任何其它口味的冰淇淋。
[编辑] 进一步的思考
用"当且仅当"连接两个句子造成的句子被称为是“双条件句”。“当且仅当”把两个句子结合成新的句子。它不应该跟描述两个句子之间关系的“逻辑等价”混淆。双条件句“A”当且仅当“B”用“A”和“B”来陈述A和B所描述的事件状况之间的关系。相对照的，“‘A’逻辑等价于‘B’”则注重两个句子：它只是陈述两个句子之间的关系，而不是它们所介绍的什么事情。
这里的区别非常容易混淆，已经使得很多哲学家迷惑。当然，在“A”逻辑等价于“B”的时候，“A”当且仅当“B”为真，但是它的逆并不成立。让我们重新考虑上面的句子：
- 小王今天要吃冰激凌当且仅当它是香草口味的。
很清楚，对于这个特定的双条件句，两个半句之间并没有逻辑等价。如想了解更多的差异，请参照W. V. Quine的《数理逻辑, 第5节。
在哲学和逻辑学中，“当且仅当”通常用作定义，因为定义被认为是全称量化的双条件句。但在数学中，相比起“当且仅当”，如果通常被用于定义。这里给出一些使用到“当且仅当的”真陈述，也是真双条件句（第一句是一个定义的例子）：
- 一个人是单身男性当且仅当他是一个未婚的而且是可结婚的男人。
- x+1=2当且仅当x=1。
- 对于任意的p, q, 和 r：(p & q) & r 当且仅当p & (q & r)。（因为这句句子是用变量和&的形式来写得，陈述也通常会使用“”，或者其它用来写双条件句的符号，来代替“当且仅当”）
[编辑] 更一般的用法
“当且仅当”在逻辑领域以外,如同在数学出版物或者普通的谈话中都会用到。如同上面所说，它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件。这是一个数学术语的例子。（即使如此，相比起“当且仅当”，“如果”一般多出现在定义的陈述中。）
