Angle solide

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L'angle solide est le rapport entre la surface (en rose) de la projection d'un objet sur une sphère et le carré du rayon de celle-ci. Ici l'objet est une surface quadrilatère (en bleu).

Calotte sphérique dont le diamètre apparent est $\scriptstyle{2\theta}$ .

Un angle solide est l'analogue tridimensionnel de l'angle plan ou bidimentionnel.

L'angle plan étant le rapport de la longueur de l'arc sur le rayon, l'angle solide est dans l'espace le rapport de la surface d'une partie d'une sphère sur le rayon²= R². Son unité est le stéradian noté Sr.

On le note souvent Ω (oméga majuscule). Il mesure la surface sous laquelle un objet se projette radialement sur une sphère de rayon unité. $\scriptstyle{S}$ , l'angle solide sous lequel l'observateur voit l'objet est, par définition: $\Omega\,=\,{S\over R^2}$

Pour calculer l'angle solide sous lequel on voit un objet à partir d'un point, on projette l'objet sur une sphère de rayon $\scriptstyle{R}$ . Si la surface que cette projection fait sur la sphère est S

[modifier] Quelques exemples

L'angle solide sous lequel on voit une calotte sphérique ( la surface S de la partie haute de la sphère dans la figure ci contre) dont le diamètre apparent s'étend sur un angle de $2θ$ :

$\Omega\,=\,{S\over R^2}=\,2\pi\cdot (1 - \cos\theta )$

$\cos\theta = 1/2 ; {\theta ={\pi\over 3}}et \theta ={{2\cdot\pi\over 3}}$ délimitent un découpage de la sphère en 4 surfaces égales de

π

stéradiants

Ainsi, l'espace complet est vu sous un angle solide de $4\cdot \pi$ sr.

La surface terrestre ne permet de voir que la moitié de l'espace c'est à dire une demi sphère ou un hémisphère un angle solide de $2π$ sr.

un mur sépare l'espace terrestre notre demi sphère où l'on vit en deux parties deux quart de sphère valant chacune en angle solide $π$ stéradians.

et un trièdre formé par deux murs à angle droit et le sol décrit un angle solide de ${{\pi\over 2}}$ stéradiants soit un huitième de sphère.

La notion d'angle solide intervient dans la définition de la luminosité.
Entre la latitude de San Diego en californie dans l'hémisphère Nord et celle de Sydney en Australie dans l'hémisphère Sud il y a la moitié de la surface terrestre.
Entre le cercle polaire et le tropique du Cancer dans l'hémisphère Nord il y a le quart de la surface terrestre soit un angle solide de $π$ stéradiants

Les angles solides sous lesquels on voit une pièce d'un centime d'euro à 1,80 m de distance, la lune et le soleil sont très proches ( $\scriptstyle{\simeq 6\,10^{-5}}$ sr).