Corps valué

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En mathématiques, un corps valué $F$ est un corps muni d'une valuation, c'est-à-dire d'une application :

$v:F\rightarrow\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$

vérifiant les conditions suivantes :

$\forall\ x\in F, \quad v(x)=+\infty \Leftrightarrow x=0$ .
$\forall\ x,y\in F, \quad v(xy)=v(x)+v(y)$ .
$\forall\ x,y\in F, \quad v(x-y)\geq\min\{v(x),v(y)\}$ .

La restriction de $v$ au groupe multiplicatif de $F$ est un homomorphisme de groupes dont l'image est un sous-groupe additif du groupe des nombres réels. Suivant la nature de ce sous-groupe, la valuation est dite triviale, discrète ou non discrète.

[modifier] Exemples

Tout corps muni de sa valuation discrète est un corps valué.

Sur un corps fini, la seule valuation est la valuation discrète.

Si $U$ est un ouvert connexe non vide du corps des nombres complexes et si $a$ est un point de $U$ , le corps des fonctions méromorphes sur $U$ est valué par l'application 'ordre au point $a$ '.

Si $k$ est un corps, le corps $k (T)$ des fractions rationnelles à coefficients dans $k$ est un corps valué par l'application 'ordre en 0'.
Le corps $k ((T))$ des séries formelles de Laurent, muni de la même valuation, est un autre exemple de corps valué.

Si $p$ est un nombre premier, le corps des nombres p-adiques est un corps valué.

[modifier] Le point de vue métrique

Si $(F, v)$ est un corps valué, l'application :

$(x,y)\mapsto\exp(-v(x-y))$

est une distance sur $F$ qui fait de $F$ un corps topologique. Un corps valué est dit complet s'il l'est pour cette distance.

La complétion d'un corps valué $(F, v)$ est le procédé décrit ci-dessous :

On note $A (F, v)$ l'anneau des suites de Cauchy de $F$ , et on identifie les éléments de $F$ aux suites constantes. La valuation de $F$ se prolonge à $A (F, v)$ en une valuation encore notée $v$ . L'ensemble $I (F, v)$ des suites de Cauchy tendant vers 0 est un idéal maximal de $A (F, v)$ sur lequel la valuation est triviale.
Le quotient de $A (F, v)$ par $I (F, v)$ est un corps valué complet, appelé le complété de $(F, v)$ . Le corps $F$ est dense dans son complété. Un corps valué complet est appelé corps local.

Par exemple, $\mathbb Q_p$ ou le corps $k ((T))$ peuvent être obtenus par cette construction.

[modifier] Le point de vue algébrique

Si $(F, v)$ est un corps valué, ses éléments de valuation positive en constituent un sous-anneau noté $O$ . C'est un anneau local, dont l'unique idéal maximal, constitué des éléments de valuation strictement positive, est noté $M$ .

Par exemple, quand $F=\mathbb Q_p$ , on obtient $O=\mathbb Z_p$ . Pour $F = k ((T))$ , on obtient $O = K [[T]]$