Développement décimal de l'unité
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Le développement décimal de l'unité est une curiosité mathématique qualifiée de paradoxe en raison de son caractère contre-intuitif. Il correspond à l'égalité entre les deux écritures du développement décimal de l'unité :
avec 
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[modifier] Première démonstration (via résolution d'une équation)
On pose la variable x :
En multipliant par 10, il s'ensuit que :
On procède à une soustraction entre les deux équations précédentes :
A partir de cela, on conclut que :
[modifier] Explication
Le côté contre-intuitif de ce raisonnement tient au fait que, dans notre esprit, l'écriture correspond à une suite finie de 9 (c'est-à-dire 0,9999...9). Ainsi la multiplication par 10 puis le résultat de la soustraction choque l'esprit et semble faux (qui le serait d'ailleurs si la suite de 9 était finie).
[modifier] Deuxième démonstration (via des fractions)
On pose :
Donc numériquement :
Soit :
Donc numériquement :
En additionnant les deux variables :
Or :
On conclut que : 
[modifier] Troisième démonstration (avec une série)
[modifier] Formalisation de 0,99999…
Pour une démonstration plus rigoureuse, il faut commencer par définir parfaitement ce qu'est 0,999…
En écrivant 0,99999… = 0,9 + 0,09 + 0,009 + … , on définit 0,99999… comme une série géométrique de premier terme a = 0,9 et de raison q = 1/10.
Ainsi : 
[modifier] Démonstration par la limite de la série
On peut aisément montrer que la somme des n premiers termes d'une série géométrique de raison q et de premier terme a vaut : 
Cette somme tend vers une limite pour n tendant vers l'infini, si et seulement si q est strictement plus petit que 1, et cette limite est alors : 
Ici, a = 0,9, q = 1/10, q est plus petit que 1, donc la limite existe et vaut 
[modifier] Commentaire
On remarque que la seconde démonstration exige d'admettre que 
, ce qui n'est en fait pas plus évident que 
. On est juste plus habitués à cette affirmation-là.
Le paradoxe illustré par l'exemple de l'unité est que tout nombre décimal, c'est-à-dire admettant un développement décimal fini, admet également un développement infini (formé uniquement de 9 à partir d'un certain rang). Le développement fini est l'écriture propre, celui comportant une infinité de 9 est l'écriture impropre. Finalement, ce sont les objets apparemment les plus simples en écriture décimale qui offrent les pires complexités : on croit que 1 est plus simple à écrire en écriture décimale que Pi, et pourtant Pi admet une écriture unique, alors que 1 en admet deux. (!)
Il est important de se souvenir que l'écriture décimale n'est qu'une des multiples manières de représenter un nombre en mathématiques.
[modifier] Voir aussi
