0,(9)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Liczba 0,(9)

0,(9) (lub 0,999...) - w matematyce jest ułamkiem dziesiętnym nieskończonym.

Nieintuicyjną dla wielu osób cechą ułamka $0,(9)$ jest fakt, że jego wartość nie jest zbliżona do wartości liczby $1$ , ale jest on jej dokładnie równy. Innymi słowy, mimo notacji sugerującej, że nie jest liczbą całkowitą, liczba ta należy do zbioru liczb naturalnych. Sformułowane zostały liczne dowody ukazujące prawdziwość tego twierdzenia, o różnym stopniu złożoności i różnym rygorze dowodowym. Poniżej przedstawiono trzy najprostsze przykłady.

Spis treści

1 Dowód ułamkowy
2 Dowód algebraiczny
3 Dowód przy pomocy nieskończonego ciągu geometrycznego
4 Błędne rozumowania
5 Zobacz też

[edytuj] Dowód ułamkowy

Jednym z najprostszych dowodów opiera się na mnożeniu ułamków zwykłych i badaniu ich zapisu dziesiętnego:

0,(1)	= ¹⁄₉
9 × 0,(1)	= 9 × ¹⁄₉
9 × ¹⁄₉	= 1
0,999…	= 1

Jak widać na przykładzie zamieszczonym powyżej, ułamek $\frac{1}{9}$ jest równy $0,(1)$ . Mnożąc obie te liczby przez $9$ , otrzymujemy równanie, które pokazuje, że $0,(9)$ jest równe dokładnie $1$ .

[edytuj] Dowód algebraiczny

Innym sposobem wykazania wspomnianych wyżej właściwości jest zbadanie zachowania ułamka dziesiętnego przy określonych operacjach algebraicznych:

x	= 0,(9)
10x	= 9,(9)
10x − x	= 9,(9) − 0,(9)
9x	= 9
x	= 1

Po pomnożeniu liczby $0,(9)$ przez $10$ , a następnie odjęciu od otrzymanego wyniku $0,(9)$ i podzieleniu całości przez $9$ , wykazujemy istnienie wspomnianej zależności.

[edytuj] Dowód przy pomocy nieskończonego ciągu geometrycznego

$0,(9)$ można przedstawić jako nieskończony ciąg geometryczny, który będzie miał postać: $0,(9) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{0,9}{10^n}= 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ....$

Korzystając ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego ( $S={a_{1} \over 1-q}$ , gdzie $| q | < 1$ ), obliczamy wartość $0,(9)$ : $S={0,9 \over 1-{1 \over 10}} = {{9 \over 10} \over {9 \over 10}} = {9 \over 10} \cdot {10 \over 9} = 1$

[edytuj] Błędne rozumowania

Powodami błędnego przekonania, jakoby $0,(9) \neq 1$ są:

Twierdzenie, jakoby "każda liczba miała tylko jedno rozwinięcie dziesiętne".
Myślenie, że w ułamku 0,(9) istnieje "ostatnia dziewiątka w nieskończoności".
Traktowanie 0,(9) nie jako granicy ciągu (0,9;0,99;0,999;...) lecz jako kolejnych wyrazów tego ciągu. Stąd pochodzi rozumowanie, że ułamek 0,(9) zawiera tylko skończoną, bliżej nieokreśloną liczbę dziewiątek.
Uważanie, że 0,(9) ma pewną ustaloną wartość, lecz jest ona mniejsza od 1 o "nieskończenie mało".

Wszystkie te poglądy wynikają z niezrozumienia natury ułamków dziesiętnych.