Disquisitiones arithmeticae

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Couverture de la première édition.

Disquisitiones Arithmeticae est un livre de théorie des nombres écrit par le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss. Sa première publication date de 1801. Dans ce livre, Gauss rassemble d'une part des résultats obtenus par Fermat, Euler, Lagrange ou Legendre, et rajoute d'autre part de nouveaux résultats de son cru.

[modifier] Sujet

Dans la préface aux Disquisitiones, Gauss présente ainsi l'ambition de son livre :

Les Recherches contenues dans cet ouvrage appartiennent à cette branche des mathématiques où on considère particulièrement les nombres entiers, quelqufois les fractions, mais où on exclut toujours les nombres irrationnels.^[1]

Les Disquisitiones traitent à la fois de l'arithmétique élémentaire et de ce qui est maintenant appelé théorie algébrique des nombres. Cependant, Gauss n'a pas explicitement fait émerger la notion de groupe, qui occupe une place centrale dans les méthodes algébriques.

[modifier] Contenu

Le livre est divisé en sept parties et 366 articles :

Partie 1. Sur les nombres congrus en général.

Partie 2. Sur les congruences du premier degré.

Partie 3. Sur les résidus des puissances.

Partie 4. Sur les congruences du second degré.

Partie 5. Sur les formes et les équations indéterminées du second degré.

Partie 6. Applications diverses des recherches précédentes.

Partie 7. Sur les équations définissant des sections de cercles.

Attention, dans la description suivante, les divers énoncés sont donnés dans le langage moderne. Quand Gauss emploie une dénomination particulière, cela sera souligné.

[modifier] Partie 1

Gauss commence en énonçant un résultat de division euclidienne (art. 3), puis établit des résultats qui expriment, le fait que les entiers modulaires forment un anneau (art. 5 à 9).

[modifier] Partie 2

Le lemme de Gauss apparaît à l'article 14. Le théorème de décomposition en produit de facteurs premiers est l'objet de l'article 16. Il en déduit ensuite plusieurs conséquences, dont notamment, la résolution des équations modulaires de degré 1 (art. 24 et 29). Il donne deux méthodes, attribuées à Euler et Lagrange, pour résoudre ces équations, en observant qu'elles mènent au même algorithme (art. 27 et 28)^[2]. Les articles 30, puis 33, et les suivants, exposent diverses méthodes relevant du théorème des restes chinois ; mais celui-ci ne fait pas l'objet d'un énoncé formellement identifié. L'article 37 aborde les systèmes du premier degré à plusieurs inconnues. L'article 38 traite de la fonction indicatrice d'Euler. Après quelques applications, l'article 43 traite du nombre de racines d'un polynôme pour un module premier : il est énoncé qu'un polynôme ne peut avoir plus de racines que son degré.

[modifier] Partie 3

Les articles 45 et suivants traitent du petit théorème de Fermat (Fermatii theorema selon Gauss, qui en attribue la première démonstration publiée à Euler) ; notamment, en 52-54, est traité le problème de connaître exactement le nombre de résidus modulaires d'un ordre multiplicatif donné, à l'aide de l'indicatrice d'Euler ; ce qu'on peut encore exprimer en disant qu'il compte les racines primitives de l'unité pour un exposant donné. En 56, Gauss commente une tentative d'Euler pour obtenir une démonstration de ce résultat, qui tombe en défaut. Il s'intéresse ensuite aux racines des autres résidus que l'unité ; il énonce d'abord l'alternative sur le nombre de solutions (art. 60), puis s'intéresse à la possibilité de décider effectivement cette alternative sans recours aux tables (art. 64). L'existence de racines carrées de -1 modulo un nombre premier est par exemple traitée. Le problème de calculer effectivement des racines primitives (problème du logarithme discret) occupe les articles suivants. Gauss finit par déclarer que « la plupart des méthodes qui servent à trouver les racines primitives reposent en grande partie sur le tâtonnement »^[3](art. 73). Il énonce ensuite une version très générale du théorème de Wilson (art. 75), dont il attribue la publication à Waring (art. 76). Il s'intéresse aussi aux sommes géométriques (art. 79), et aux sommes de racines primitives (art. 81).

Gauss considère ensuite le cas d'un module composé, via notamment le théorème de Fermat-Euler (art. 83). Il s'intéresse à nouveau aux racines de l'unité (art. 85 et 89) et donne un critère pour l'existence de racines primitives (art. 92) - c'est-à-dire pour que le groupe des unités des anneaux considérés soit cyclique.

[modifier] Partie 4

Gauss commence par montrer qu'il y a autant de résidus quadratiques (« residua quadratica ») et de non-résidus quadratiques modulo un nombre premier (art. 94 à 97) ; il propose plusieurs méthodes pour arriver au résultat. Il traite ensuite la question d'un module composé (art. 100 à 106). Puis il pose la question, un nombre entier étant donné, de trouver tous les modules pour lesquels il sera résidu quadratique. Pour -1 (art. 108 à 111), la réponse a déjà été donnée à la partie précédente (art. 64) ; deux autres démonstrations sont données, dont une se basant sur le théorème de Wilson. Puis sont traités les cas de 2 et -2 (art. 112 à 116), puis 3 et -3 (art. 117 à 120), 5 et -5 (art. 121 à 124).

La nécessité d'une approche plus systématique étant établie, Gauss énonce en 131 ce qu'il appelle « théorème fondamental » ^[4]:

Tout nombre qui, pris positivement, est résidu ou non résidu de p, aura, pour résidu ou non résidu, +p ou -p, selon que p sera de la forme 4n+1 ou 4n+3.^[5]

On reconnaît la loi de réciprocité quadratique ; Gauss donne ici la première démonstration de ce résultat, basée sur une récurrence, et une discussion portant sur les restes et les résiduosités des entiers sur lesquels porte la récurrence ; il est amené à distinguer huit cas (art. 132 à 144). Il en déduit un algorithme pour déterminer si un nombre est résidu quadratique pour un module donné, mais en se basant sur la connaissance de la factorisation en nombres premiers (art. 146). art 147 à 150 ?

[modifier] Partie 5

Gauss étudie en premier lieu les formes quadratiques entières à deux indéterminées. Son premier théorème (art. 154 à 156) donne une condition nécessaire sur le discriminant (que Gauss appelle déterminant) d'une forme quadratique pour qu'elle représente un entier donné. Il considère ensuite ce qu'on peut traduire en langage moderne comme le problème de déterminer les classes de l'ensemble des formes quadratiques sous l'action du groupe $Gl_2(\mathbb{Z})$ , et même plus généralement par la relation d'ordre induite par changements de coordonnées dans $M_2(\mathbb{Z})$ , non nécessairement inversibles, mais de déterminant non nul. Il introduit notamment les notions d'action propre et impropre, suivant le signe du déterminant du changement de variables. Ce sujet occupe les articles 157 à 165. Il fait ensuite le lien entre ces notions et la représentation des nombres par des formes (art. 166 à 170).

La suite a pour objet l'étude fine des classes pour les actions précédentes : détermination d'un représentant privilégié, dont la taille des coefficients soit contrôlée, système complet d'invariants, détermination d'une transformation pour passer d'un élément d'une classe vers un autre.

[modifier] Notes

↑ La première phrase est : « Disquisitiones in hoc opere contentae ad eam Matheseos partem pertinent quae circa numeros integros versatur, fractis plerumque, surdis semper exclusis. »
↑ Ceterum ex utraque methodo idem algorithmus derivatur.
↑ Methodi radices primitivas inveniendi maximam partem tentando innituntur.
↑ theorematis fundamentalis
↑ « Si p est numerus primus formae 4n+1, erit +p, si vero p formae 4n+3, erit -p residuum vel non residuum cuiuivis numeri primi qui positive acceptus ipsius p est residium vel non residium. »