Leonhard Euler

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir Euler.

Leonhard Euler

Leonhard Euler (15 avril 1707 - 18 septembre 1783) était un mathématicien et un physicien suisse. Il est considéré comme le mathématicien le plus prolifique de tous les temps. Il domine les mathématiques du XVIII^e siècle et développe très largement ce qui s'appelle alors la nouvelle analyse. Complètement aveugle pendant les dix-sept dernières années de sa vie, il produit presque la moitié de la totalité de son travail durant cette période.

Sommaire

1 Biographie
2 Découvertes
3 Œuvres
4 Source partielle
5 Voir aussi
- 5.1 Articles connexes
- 5.2 Liens externes

[modifier] Biographie

Il est né en Suisse, à Bâle, en 1707, et il y étudie les mathématiques. Il reçut les leçons de Jean Bernoulli.

Il fut appelé par Catherine II de Russie en Russie en 1727, par la suite il travaille en tant que professeur de mathématiques à Saint-Pétersbourg. Il vient en 1741 se fixer à Berlin, et retourne à Saint-Petersbourg où il finit ses jours.

Il était membre des Académies de St-Pétersbourg, de Berlin, associé de l'Académie française des sciences, et fut pensionné par la Russie. Il a fait faire à la science mathématique de grands pas, surtout au calcul différentiel et intégral; il appliqua l'analyse à la mécanique, à la construction des vaisseaux, et donna la démonstration de plusieurs théorèmes énoncés par Pierre de Fermat.

Il eut avec d'Alembert, son rival de science, des démêlés où le bon droit ne paraît pas avoir été de son côté.

Entre ses nombreux écrits, presque tous rédigés en latin, on doit remarquer :

Mécanique exposée analytiquement, Saint-Pétersbourg, 1736 ;
Introduction à l'analyse de l'infini, Lausanne, 1748 ;
La Science navale ;
Les Institutions de calcul différentiel ;
Les Institutions de calcul intégral, 1768 ;
Lettres à une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie (princesse d'Anhalt-Dessau, nièce du roi de Prusse), écrites en français, de 1761 à 1762, publiées à Saint-Pétersbourg en 1768, 3 volumes, in-8. Ce dernier ouvrage, où l'auteur traite à la fois de physique, de métaphysique et de logique, a été plusieurs fois réimprimé, notamment à Paris en 1787, par les soins de Nicolas de Condorcet, qui en a retranché les passages antiphilosophiques ; par Jean-Baptiste Labey en 1812, par Antoine-Augustin Cournot en 1842, par Émile-Edmond Saisset en 1843.

Euler eut treize enfants, dont huit meurent en bas âge, qui presque tous marchèrent sur ses traces :

L'ainé, Jean Albert, né en 1734 à Saint-Pétersbourg, mort en 1810, partagea plusieurs prix à l'Académie des sciences avec Charles Bossut et Alexis Claude Clairaut, et enseigna la physique à St-Pétersbourg.
Charles, né en 1740, mort en 1800, remporta également plusieurs prix à l'Académie des sciences; il exerça la médecine à Saint-Pétersbourg et fut médecin de l'empereur.
Christophe, né en 1743 à Berlin, mort vers 1805, appliqua avec succès les mathématiques au génie militaire

Euler fut profondément pieux pendant toute sa vie. L'anecdote disant qu'il défia Denis Diderot à la Cour de Catherine la Grande avec l'affirmation : « Monsieur, $e i π + 1 = 0$ donc Dieu existe, répondez ! » est cependant fausse.

[modifier] Découvertes

Il est le physicien qui, avec Daniel Bernoulli, établit la loi selon laquelle, le couple sur un faisceau élastique mince est proportionnel à une mesure de l'élasticité du matériau et le moment d'inertie d'une coupe transversale, autour d'un axe traverse le centre de masse en étant perpendiculaire au plan des couples.

Il a également déduit un ensemble de lois de mouvement en dynamique des fluides à partir des lois du mouvement de Newton qui s'énoncent ainsi :

La force agissant sur un petit élément d'un fluide est égale au taux de variation de sa quantité de mouvement.
Le couple agissant sur un petit élément d'un fluide est égal au taux de variation du moment angulaire.

En mathématiques, il apporte d'importantes contributions à la théorie des nombres et aussi à la théorie des équations différentielles. Sa contribution à l'analyse, par exemple, est issue de sa synthèse du calcul différentiel de Leibniz avec la méthode de Newton des fluxions.

Il établit sa renommée très tôt en résolvant un problème connu de longue date - à savoir la détermination de la somme des inverses des carrés d'entiers :

$\zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

où $\zeta(s)\,$ est la fonction ζ de Riemann.

Il montra aussi que pour tout nombre réel x,

$e^{ix} = \cos x+ i\sin x \,$

C'est la formule d'Euler, qui établit le rôle central de la fonction exponentielle. Par essence, toutes les fonctions étudiées en analyse élémentaire sont ou de simples variations de la fonction exponentielle ou des fonctions polynomiales.

L'identité d'Euler que certains scientifiques ont appelé la « formule la plus remarquable du monde » en est une conséquence immédiate.

En arithmétique, il introduit la fonction indicatrice d'Euler $Φ(n)$ , définie comme le nombre d'entiers inférieurs à $n$ et premiers à $n$ . Généralisant le petit théorème de Fermat, il démontre le théorème d'Euler à la base de la cryptographie RSA de nos jours.

En 1735, il travaille sur la constante d'Euler-Mascheroni utile dans certaines équations différentielles :

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)$

Il est un coauteur de la formule d'Euler-Maclaurin qui est un outil extrêmement puissant pour le calcul des intégrales, des sommes et des séries difficiles.

Euler écrit Tentamen novae theoriae musicae en 1739 qui est une tentative d'accorder les mathématiques et la musique ; une biographie commente que le travail est destiné « à des musiciens trop avancés dans leurs mathématiques et à des mathématiciens trop musicaux ».

Dans les sciences économiques, il prouve que si chaque facteur de production est payé à la valeur de son produit marginal, alors (sous des rendements à l'échelle constants) le revenu total et le rendement seront complètement épuisés.

En géométrie et en topologie algébrique, il y a une relation appelée relation d'Euler qui relie le nombre de côtés, de sommets, et de faces d'un polyèdre du genre 0 (en supprimant une face on obtient une surface simplement connexe), par exemple d'un polyèdre convexe. Étant donné un tel polyèdre, la somme du nombre de sommets S et de faces F est toujours égale au nombre de côtés C plus deux c'est-à-dire :

F - C + S = 2

Le théorème s'applique également à n'importe quel graphe du plan.

Pour les graphiques non plans, il y a une généralisation : si le graphique peut être plongé dans une variété M, alors si F est le nombre de faces, S le nombre de sommets et A le nombre d'arêtes, F - A + S = χ(M), où χ est la caractéristique d'Euler de la variété, une constante qui est invariable sous des déformations continues. La caractéristique d'Euler d'une variété simplement connexe comme une sphère ou un plan vaut 2. Une généralisation de la formule d'Euler pour les graphes arbitraires du plan existe : F - A + S - C = 1, où C est le nombre de composantes dans le graphe.

En 1736, Euler résout un problème connu sous le nom du problème des sept ponts de Königsberg, publiant un article Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis qui pourrait être l'application la plus ancienne de la théorie des graphes ou de la topologie. Cette publication serait également la plus ancienne et donc la première en Recherche Opérationnelle.

Source

bibtex : @article{Euler36, author = {L. Euler}, title = {Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis}, journal = {Opera Omnia}, volume = {7}, pages = {128--140}, year = {1736}

Leonhard Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Comment. Acad. Sci. U. Petrop. 8, 128-140, 1736. Reprinted in Opera Omnia Series Prima, Vol. 7. pp. 1-10, 1766.

Les travaux d'Euler concernant la conception des instruments optiques (microscopes, télescopes) ont été publiés dans l'ouvrage en trois volumes Dioptrica.

[modifier] Œuvres

Wikisource propose un ou plusieurs textes de ou sur Leonhard Euler.

Euler Leonhard, Lettres à une princesse d'Allemagne, Bookmine.org
Euler Leonhard Œuvres
Ouvrages d'Euler, SCD de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg

[modifier] Source partielle

« Leonhard Euler », dans Marie-Nicolas Bouillet et Alexis Chassang (dir.), Dictionnaire universel d'histoire et de géographie, 1878 [détail des éditions] (Wikisource)