Utilisateur:Flo/maths

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Sommaire

1 Valeurs exactes des fonctions trigo d'angles multiples de 3
2 4 cercles
3 Identité de Lagrange
4 Humour matheux

[modifier] Valeurs exactes des fonctions trigo d'angles multiples de 3

angle	cosinus	sinus	tangente
0°	$1\,$	$0\,$	$0\,$
3°	$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}}}{8}}$	$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}}}{8}}$	$\sqrt{ \frac{4 - \sqrt{7 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}} }{ 4 + \sqrt{7 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}} } }$
6°	$\frac\sqrt{7 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}}{4}$	$\frac{-1 - \sqrt5 + \sqrt{30-6\sqrt5}}{8}$	$\frac{-1 - \sqrt5 + \sqrt{30 - 6\sqrt5} }{ 2\cdot\sqrt{7 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}}}$
9°	$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{\frac{5 + \sqrt5}{2}}}}{2}$	$\frac\sqrt{2 - \sqrt{\frac{5}{2} + \sqrt\frac{5}{2}}}{2}$	$\sqrt{ \frac{4 - \sqrt{10+2\sqrt5} }{ 4 + \sqrt{10+2\sqrt5}} }$
12°	$\frac{-1 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}}{8}$	$\sqrt{1 - \frac{\left(-1 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}\right)^2}{64}}$	$8\cdot\frac{\sqrt{1 - \frac{1}{64}\left(-1 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}\right)^2 } }{ -1 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5} }$
15°	$\frac{1 + \sqrt3}{2 \cdot \sqrt2}$	$\frac{-1 + \sqrt3}{2\cdot\sqrt2}$	$\frac{ -1 + \sqrt3 }{ 1 + \sqrt3 }$
18°	$\frac{\sqrt{\frac{5 + \sqrt5}{2}}}{2}$	$\frac{-1 + \sqrt5}{4}$	$\frac{-1 + \sqrt5} \sqrt{10+2\sqrt5}$
21°	$\frac\sqrt{2 + \frac\sqrt{7 - \sqrt5 + \sqrt{30-6\sqrt5}}{2}}{2}$	$\frac\sqrt{2 - \frac\sqrt{7 - \sqrt5 + \sqrt{30-6\sqrt5}}{2}}{2}$	$\sqrt{ \frac{4 - \sqrt{7 - \sqrt5 + \sqrt{30 - 6\sqrt5}} }{ 4 + \sqrt{7 - \sqrt5 + \sqrt{30 - 6\sqrt5}} } }$
24°	$\frac{1 + \sqrt5 + \sqrt{30 - 6 \cdot \sqrt5}}{8}$	$\frac\sqrt{7 + \sqrt5 - \sqrt{30+6\sqrt5}}{4}$	$\frac{ 2\cdot\sqrt{7 + \sqrt5 - \sqrt{30+6\sqrt5}} }{ 1 + \sqrt5 + \sqrt{30 - 6\sqrt5}}$
27°	$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{\frac{5 - \sqrt5}{2}}}}{2}$	$\frac\sqrt{2 - \sqrt{\frac{5 - \sqrt5}{2}}}{2}$	$\sqrt{ \frac{4 - \sqrt{10 - 2\sqrt5} }{ 4 + \sqrt{10 - 2\sqrt5}} }$
30°	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac 1 \sqrt3$
33°	$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7 + \sqrt5 - \sqrt{30+6\sqrt5}}}{8}}$	$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac\sqrt{7 + \sqrt5 - \sqrt{30+6\sqrt5}}{8}}$	$\sqrt{ \frac{4 - \sqrt{7 + \sqrt5 - \sqrt{30+6\sqrt5}} }{ 4 + \sqrt{7 + \sqrt5 - \sqrt{30+6\sqrt5}}}}$
36°	$\frac{1 + \sqrt5}{4}$	$\sqrt{\frac{5}{8} - \sqrt\frac{5}{8}}$	$\frac\sqrt{10 - 2\sqrt5}{1 + \sqrt5}$
39°	$\frac{\sqrt{2 + \frac{\sqrt{7 - \sqrt5 - \sqrt{30-6\sqrt5}}}{2}}}{2}$	$\frac\sqrt{2 - \frac\sqrt{7 - \sqrt5 - \sqrt{30-6\sqrt5}}{2}}{2}$	$\sqrt{ \frac{4 - \sqrt{7 - \sqrt5 - \sqrt{30 - 6\sqrt5}} }{ 4 + \sqrt{7 - \sqrt5 - \sqrt{30 - 6\sqrt5}}} }$
42°	$\frac{\sqrt{7 - \sqrt5 + \sqrt{30 - 6 \cdot \sqrt5}}}{4}$	$\frac{1 - \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}}{8}$	$\frac{ 1 - \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5} }{ 2\cdot\sqrt{7 - \sqrt5 + \sqrt{30 - 6\sqrt5}} }$
45°	$\frac{1}{\sqrt2}$	$\frac{1}{\sqrt2}$	$1\,$
48°	$\frac{1 - \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}}{8}$	$\frac\sqrt{7 - \sqrt5 + \sqrt{30-6\sqrt5}}{4}$	$\frac{ 2\cdot\sqrt{7 - \sqrt5 + \sqrt{30 - 6\sqrt5}} }{ 1 - \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5} }$
51°	$\frac{\sqrt{ 2 - \frac{\sqrt{7 - \sqrt5 - \sqrt{30-6\sqrt5}}}{2} }}{2}$	$\frac\sqrt{2 + \frac\sqrt{7 - \sqrt5 - \sqrt{30-6\sqrt5}}{2}}{2}$	$\frac 1 \sqrt{ \frac{4 - \sqrt{7 - \sqrt5 - \sqrt{30 - 6\sqrt5}} }{ 4 + \sqrt{7 - \sqrt5 - \sqrt{30 - 6\sqrt5}}} }$
54°	$\frac{\sqrt{\frac{5 - \sqrt5}{2}}}{2}$	$\frac{1 + \sqrt5}{4}$	$\frac {1 + \sqrt5} \sqrt{10 - 2\sqrt5}$
57°	$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{\frac{7}{4} + \frac{\sqrt5}{4} - \frac{\sqrt{\frac{15}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt5}{2}}}{2} }}}{2}$	$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac\sqrt{7 + \sqrt5 - \sqrt{30+6\sqrt5}}{8}}$	$\frac 1 \sqrt{ \frac{4 - \sqrt{7 + \sqrt5 - \sqrt{30+6\sqrt5}} }{ 4 + \sqrt{7 + \sqrt5 - \sqrt{30+6\sqrt5}}} }$
60°	$\frac{1}{2}$	$\sqrt\frac{3}{2}$	$\sqrt3$
63°	$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{\frac{5 - \sqrt5}{2}}}}{2}$	$\frac\sqrt{2 + \sqrt{\frac{5 - \sqrt5}{2}}}{2}$	$\sqrt{ \frac{4 + \sqrt{10 - 2\sqrt5} }{ 4 - \sqrt{10 - 2\sqrt5}} }$
66°	$\frac{\sqrt{7 + \sqrt5 - \sqrt{30+6\sqrt5}}}{4}$	$\frac{1 + \sqrt5 + \sqrt{30-6\sqrt5}}{8}$	$\frac{ 1 + \sqrt5 + \sqrt{30 - 6\sqrt5} }{ 2\cdot\sqrt{7 + \sqrt5 - \sqrt{30+6\sqrt5}} }$
69°	$\frac{\sqrt{2 - \frac{\sqrt{7 - \sqrt5 + \sqrt{30-6\sqrt5}}}{2}}}{2}$	$\frac\sqrt{2 + \frac\sqrt{7 - \sqrt5 + \sqrt{30-6\sqrt5}}{2}}{2}$	$\frac 1 \sqrt{ \frac{4 - \sqrt{7 - \sqrt5 + \sqrt{30 - 6\sqrt5}} }{ 4 + \sqrt{7 - \sqrt5 + \sqrt{30 - 6\sqrt5}} } }$
72°	$\frac{-1 + \sqrt5}{4}$	$\sqrt{\frac{5}{8} + \sqrt\frac{5}{8}}$	$\frac\sqrt{10+2\sqrt5}{-1 + \sqrt5}$
75°	$\frac{-1 + \sqrt3}{2 \cdot \sqrt2}$	$\frac\sqrt{2 + \sqrt3}{2}$	$\frac\sqrt{4 + 2\sqrt3}{-1 + \sqrt3}$
78°	$\frac{\sqrt{7 - \sqrt5 - \sqrt{30 - 6 \cdot \sqrt5}}}{4}$	$\frac{-1 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}}{8}$	$\frac{ -1 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5} }{ 2\cdot\sqrt{7 - \sqrt5 - \sqrt{30 - 6\sqrt5}} }$
81°	$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt5}{2}}}}{2}$	$\frac\sqrt{2 + \sqrt{\frac{5 + \sqrt5}{2}}}{2}$	$\sqrt{ \frac{4 + \sqrt{10+2\sqrt5} }{ 4 - \sqrt{10+2\sqrt5} } }$
84°	$\frac{-1 - \sqrt5 + \sqrt{30 - 6 \cdot \sqrt5}}{8}$	$\frac\sqrt{7 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}}{4}$	$\frac{2\cdot\sqrt{7 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}} }{ -1 - \sqrt5 + \sqrt{30 - 6\sqrt5} }$
87°	$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}}}{8}}$	$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac\sqrt{7 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}}{8}}$	$\frac {4 + \sqrt{7 + \sqrt5 + \sqrt{30+6\sqrt5}}} \sqrt{9 - \sqrt5 - \sqrt{30+6\sqrt5}}$
90°	$0\,$	$1\,$	$+\infty$

Merci à V. Astanoff, armé de Mathematica. Sous réserve d'erreurs (passage de Mathematica à TeX).

[modifier] 4 cercles

Un petit passe-temps de vacances dont je publie les résultats ici.

Soient 4 cercles de rayon r, dans un repère orthonormé, centrés en (0,0), (r,0), (0,r) et (r,r). Leurs centres décrivent un carré de côté r, que j'appellerai carré circonscripteur, d'une superficie égale au carré du rayon.

Ils se croisent en 4 points, de coordonnées :

$A\left(\frac{r}{2};\frac{\sqrt{3}r}{2}\right)$ , $B\left(\frac{\sqrt{3}r}{2};\frac{r}{2}\right)$ , $C\left(\frac{r}{2};r-\frac{\sqrt{3}r}{2}\right)$ et $D\left(\frac{\sqrt{3}r}{2};r-\frac{r}{2}\right)$ .

Les normes des vecteurs associés sont :

$\|\vec{OA}\| = \|\vec{OB}\| = r$ ,

$\|\vec{AB}\| = \|\vec{BC}\| = \|\vec{CD}\| = \|\vec{DA}\| = r\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$ et

$\|\vec{OD}\| = \|\vec{OC}\| = r \sqrt{2-\sqrt{3}}$ .

L'angle entre $\vec{OA}$ et $\vec{OB}$ est $\widehat{AOB} = \frac{\pi}{6} = 30^\circ$ . Il est égal à l'angle $\widehat{BOx}$ et à l'angle $\widehat{AOy}$ .

L'angle entre $\vec{OD}$ et $\vec{OC}$ est $\widehat{DOC} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$ .

Les fonctions associées aux 4 arcs présents dans le carré circonscripteur ont pour ensembles de départ et d'arrivée $[0,r]\,$ et sont :

$C(r,0) : \alpha (x) = \sqrt{2xr-x^2}$

$C(0,r) : \beta(x) = r - \sqrt{r^2-x^2}$

$C(0,0) : \gamma (x) = \sqrt{r^2-x^2}$

$C(r,r) : \delta(x) = r - \sqrt{2xr-x^2}$

Les arcs forment au centre de la figure une intersection en forme de carré. Sa superficie est :

$I = r^2\left(1-\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}\right) = 4 \int_{r \over 2}^{\sqrt{3}r \over 2} \gamma (x)-\frac{r}{2} {\rm d}x \quad \approx \frac{r^2}{3}$

Ils forment aussi aux quatre coins du carré circonscripteur quatre intersections en forme de triangle isocèle. La superficie de chacun est :

$J = r^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1+\frac{\pi}{12}\right) \quad \approx \frac{r^2}{9}$

Enfin, ils forment le long des quatre côtés du carré quatre autres intersections. La superficie de chacune est :

$K = r^2\left(1-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{6}\right) = 2 \int_{0}^{r\over 2} \beta (x) {\rm d}x \quad \approx \frac{r^2}{15}$

En sommant I,4J et 4K on retrouve la superficie du carré circonscripteur, $r 2$ .

[modifier] Identité de Lagrange

La somme du carré de la norme du produit vectoriel de deux vecteurs et du carré de leur produit scalaire est égale au produit du carré de leurs normes () :

En effet, selon les expressions géométriques de ces produits :

$\| \vec\phi \wedge \vec\psi \|^2 + \langle \vec\phi\mid\vec\psi \rangle^2$

$= \left( \|\vec\phi\|\cdot\|\vec\psi\|\cdot \sin(\widehat{\vec\phi,\vec\psi})\right)^2 + \left(\|\vec\phi\|\cdot\|\vec\psi\|\cdot \cos(\widehat{\vec\phi,\vec\psi})\right)^2$

$= \|\vec\phi\|^2 \cdot \|\vec\psi\|^2 \cdot \sin^2(\widehat{\vec\phi,\vec\psi}) + \|\vec\phi\|^2 \cdot \|\vec\psi\|^2 \cdot \cos^2(\widehat{\vec\phi,\vec\psi})$

$= \|\vec\phi\|^2 \cdot \|\vec\psi\|^2 \cdot \underbrace{\left(\sin^2(\widehat{\vec\phi,\vec\psi}) + \cos^2(\widehat{\vec\phi,\vec\psi})\right)}_{=1} = \|\vec\phi\|^2 \cdot \|\vec\psi\|^2$

Cette relation est attribuée à Joseph-Louis Lagrange.

[modifier] Humour matheux

Voir l’article Wikipédia:La blague du jour/Blagues sur la science.

[modifier] Pi

Voici comment obtenir $π$ tout naturellement :

${cheval \over oiseau}$	Divisons un cheval par un oiseau
$= {lvache \over \beta l}$	Le produit est commutatif, et l'oiseau est une bête à ailes
$= {\beta \pi \over \beta}$	Les $l$ se simplifient, et la vache est une bête à pis
$= \pi\,$	En simplifiant