Forme bilinéaire non dégénérée
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[modifier] Définitions
Soit E un espace vectoriel sur un corps K. Soit f une forme bilinéaire sur E.
- On appelle espace singulier de f (on dit aussi noyau) le [sous-espace vectoriel] de E suivant
- Lorsque f est symétrique, cette définition est suffisante, sinon on est amené à définir l'espace sigulier à droite (noyau à droite) l'espace suivant
- On dit que f est non dégénérée si et seulement si
.
[modifier] Propriétés
- Pour une vecteur xde E, notons f(x,.) la fonction partielle de f qui à y associe f(x,y). C'est une forme linéaire. de plus, l'application
de E dans E * qui à x associe f(x,.) est linéaire.
Par construction
.
- En dimension finie
si et seulement si 
.
- Lorsque E est un espace vectoriel réel. Toute forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur E est strictement positive (c'est un produit scalaire).
C'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les forme bilinéaires positives.
[modifier] Références
- J.M. Arnaudiès et H. Fraysse Cours de mathématiques 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie 1990 Dunod
