Inégalité de Cauchy-Schwarz

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article manque de sources.
Améliorez sa qualité à l'aide des conseils sur les sources !

En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire avec les vecteurs, l'analyse avec les séries et en intégration avec les intégrales de produits.

L'inégalité s'énonce de la façon suivante :

Pour tous x et y éléments d'un espace préhilbertien réel ou complexe

$|\langle x,y\rangle|\le\|x\|.\|y\|$

Les deux membres sont égaux si et seulement si x et y sont linéairement dépendants.

[modifier] Conséquences

Une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz est que le produit scalaire est une fonction continue.

Dans le cas de l'espace euclidien $\quad \mathbb R ^n$ muni du produit scalaire canonique, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :

$\left|\sum_{i=1}^n x_{i}y_{i}\right|\le\left (\sum_{i=1}^n x_{i}^{2}\right)^{1/2}.\left (\sum_{i=1}^n y_{i}^{2}\right)^{1/2}$

Dans le cas des fonctions à valeurs complexes de carré intégrable, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :

$\left|\int \overline{f}. g\, \textrm{d}x\right| \leq \left( \int |f|^2\,\textrm{d}x\right)^{1/2}. \left( \int |g|^2\, \textrm{d}x\right)^{1/2}$

Ces deux dernières formulations sont généralisées par l'inégalité de Hölder.

[modifier] Démonstration

Démontrons le résultat dans le cas d'un préhilbertien complexe.

[modifier] Inégalité

Pour tout couple de vecteurs (x,y), par définition du produit scalaire et de la norme associée:

$\forall \lambda \in \mathbb{C} \quad 0 \leq \|x+\lambda . y\|^2 = \|x\|^2+ \overline \lambda \langle y,x\rangle + \lambda \langle x,y\rangle + |\lambda|^2\|y\|^2$

Soit $θ$ un argument de $\langle x,y\rangle\qquad$ (si $\quad \langle x,y\rangle = 0$ on prendra $\quad \theta = 0$ ). Choisissons alors $\quad \lambda = \mu.e^{-i. \theta}$ où $\quad \mu$ décrit $\mathbb{R}$ . On en déduit :

$\forall \mu \in \mathbb{R} \quad \|x\|^2+ 2\mu |\langle x,y\rangle| + \mu^2\|y\|^2 \ge 0$

Ce polynôme réel (de degré 2 en général, éventuellement <2 si y=0) ne peut donc avoir 2 racines réelles distinctes. Son discriminant est donc négatif. On obtient:

$4|\langle x,y\rangle |^2 - 4\|x\|^2\|y\|^2 \le 0$

Ce qui entraîne bien l'inégalité annoncée.

[modifier] Cas d'égalité

Si les vecteurs x et y sont liés, on peut sans perte de généralité supposer que $y=\alpha x \quad (\alpha \in \mathbb{C})$ . On en déduit immédiatement: $\quad |\langle x,y\rangle |=|\alpha|\|x\|^2=|\alpha|\|x\|\|x\|=\|x\|\|y\|$

Réciproquement, supposons qu'on ait l'égalité $\quad |\langle x,y\rangle |=\|x\|\|y\|$ Si y=0 les vecteurs sont évidemment liés. Si y $\not=$ 0 $\qquad \|x+\mu e^{-i\theta} y\|^2$ s'annule (voir ci-dessus) pour $\quad \mu = \mu_1$ où $μ 1$ est racine (double) du trinôme réel vu ci-dessus, donc $\quad x=-\mu_1 e^{-i\theta} y$ et les vecteurs sont encore liés.

[modifier] Cas réel

Dans le cas d'un espace réel la démonstration est analogue mais simplifiée : il suffit de prendre $\quad \lambda = \mu$ et $\quad \theta = 0$ . On peut aussi proposer une preuve légèrement différente :

La preuve pour $y = 0$ est triviale, on considère donc $y \neq 0$ . Pour $\lambda \in \mathbb{R}$ on a :

$0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x-\lambda y,x \rangle - \lambda \langle x-\lambda y,y \rangle = \langle x,x \rangle -2\lambda \langle x,y \rangle + \lambda^2 \langle y,y \rangle.$