Groupe de Heisenberg
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En géométrie différentielle, le groupe de Heisenberg, nommée en faveur de Werner Heisenberg, est le groupe de Lie réel de dimension 3, sous-groupe de GL3(R) des matrices de la forme :
Il est usuellement noté H3(R).
[modifier] Structure de groupe
H3(R) est un groupe de Lie nilpotent.
Il admet un réseau, à savoir le sous-groupe H3(Z), groupe des matrices de la forme :
Ce groupe H3(Z) est un groupe nilpotent non abélien engendré par deux générateurs, à savoir :
et les relations z = xyx − 1y − 1, xz = zx, et yz = zy. L'élément z s'écrit :
Par le théorème de Bass, il a une croissance polynomiale d'ordre 4.
[modifier] Géométrie symplectique linéaire
Plus généralement, un groupe de Heisenberg peut être construit à partir d'un espace vectoriel symplectique (V,ω) (ω est une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée sur V. Le groupe de Heisenberg H(V) est l'espace topologique 
muni de la loi de groupe :
Le groupe de Heisenberge est une extension du groupe additif V. L'algèbre de Lie du groupe de Heisenberg est l'espace vectoriel 
, muni du crochet de Lie :
- [(v1,t1),(v2,t2)] = ω(v1,v2)
