Icosaèdre

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Icosaèdre

Type	Polyèdre régulier
Faces	Triangle
Éléments : · Faces · Arêtes · Sommets · Caractéristique	20 30 12 2
Faces par sommet	5
Sommets par face	3
Isométries	I_h
Dual	Dodécaèdre
Propriétés	Deltaèdre régulier et convexe

Un icosaèdre est un polyèdre à 20 faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.

Sommaire

1 Icosaèdre régulier
2 Patrons de l'icosaèdre régulier
3 Groupe d'isométries de l'icosaèdre régulier
4 Fascination de l'icosaèdre
5 Icosaèdre et dodécaèdre
6 Voir aussi

[modifier] Icosaèdre régulier

L'icosaèdre régulier est le cinquième solide de Platon, polyèdre composé de 12 sommets et de 20 faces, chacun étant un triangle équilatéral, et dont 5 se rejoignent à chaque sommet.

L'angle dièdre est 138° 11' 32.

Si a est la longueur d'une arête :

La surface vaut : $A=5\sqrt{3}a^2$
La hauteur vaut : $a\varphi^2/\sqrt{3}$
Le rayon de la sphère inscrite est : $a\varphi^2/2\sqrt{3}$
Le rayon de la sphère circonscrite est : ${a\sqrt{1+\varphi^2}\over 2}$

où $\varphi = {(1+ \sqrt5) \over 2}$ est le nombre d'or.

Le volume vaut : $V=\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})a^3=\frac{5}{6}\left (\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right )^2a^3=\frac{5}{6}\varphi ^2a^3$

[modifier] Patrons de l'icosaèdre régulier

Patron de l'icosaèdre régulier

[modifier] Groupe d'isométries de l'icosaèdre régulier

[modifier] Fascination de l'icosaèdre

Dans certains jeux de rôle, le dé à 20 faces (abrégé d20) est utilisé pour déterminer le succès ou l'échec d'une action. Ce dé est un icosaèdre.

En biologie moléculaire, beaucoup de virus, comme le virus de l'Herpès,ont la forme d'un icosaèdre. Les structures virales sont formées de sous-unités protéiques identiques répetées, et la forme d'un icosaèdre est la forme la plus adaptée pour assembler ces sous-unités, car elle permet un espace maximal pour le génome viral. En effet, parmi les solides de Platon, l'icosaèdre optimise la place occupée dans la sphère circonscrite.

En remplaçant chaque face de l'icosaèdre par une résistance de 1 Ohm, la mesure de la résistance entre deux coins opposés donne 0.5 ohms, et entre deux coins adjacents 11/30 ohms.

La projection de Fuller (ou carte Dymaxion, crée par Richard Buckminster Fuller) est une projection gnomonique sur un icosaèdre.

[modifier] Icosaèdre et dodécaèdre

En dépit des apparences, un icosaèdre inscrit dans une sphère occupe moins d'espace (60,54%) qu'un dodécaèdre inscrit dans une sphère (66,49%).

[modifier] Voir aussi

Le Wiktionnaire possède une entrée pour « icosaèdre ».

Les solides géométriques
Les solides de Platon
Tétraèdre - Cube - Octaèdre - Icosaèdre - Dodécaèdre
Les solides d'Archimède
Tétraèdre tronqué - Cube tronqué - Octaèdre tronqué - Dodécaèdre tronqué - Icosaèdre tronqué - Cuboctaèdre - Cube adouci - Icosidodécaèdre - Dodécaèdre adouci - Petit rhombicuboctaèdre - Grand rhombicuboctaèdre - Petit rhombicosidodécaèdre - Grand rhombicosidodécaèdre
Les solides de Kepler-Poinsot
Petit dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre - Grand icosaèdre
Les solides de Catalan
Triakioctaèdre - Tétrakihexaèdre - Triakitétraèdre - Pentakidodécaèdre - Triaki-icosaèdre - Dodécaèdre rhombique - Icositétraèdre pentagonal - Triacontaèdre rhombique - Hexacontaèdre pentagonal - Icositétraèdre trapézoïdal - Hexakioctaèdre - Hexacontaèdre trapézoïdal - Hexaki icosaèdre
Les solides de Johnson
Les solides de révolution
Sphère - Cylindre de révolution - Cône de révolution - Tore - Paraboloïde de révolution